> Аккуратность соблюдают со времен парадокса Рассела, когда никаких формальных систем не было.

парадокс Рассела же как раз накопали в попытках её построения, нет? Russel, Whitehead и т.п.

собственно, "аксиомой фундирования" (довольно искусственной - впрочем, они там все не красавицы, если начистоту - и другого смысла не имеющей, кроме как - ) эту дыру и закрыли, с запасом.

аксиомой выбора, опять же, постоянно пользуются, все хотят максимальных идеалов (подмодулей; любых максимальных подобъектов вообще) потому что, а без Геделя и Коэна как-то стремновато было (она и правда вроде бы и очев. а вроде бы и не оч.).

континуум-гипотезой стараются не пользоваться, правда, хотя казалось бы
ну и вообще стараются понимать, использовалась по дороге AC или нет