> Формулы вычисления площади круга и обьема шара имеют очевидное инженерное применение.

Да нет, конечно - если считать инженерное применение того времени; объем цилиндра и любой призмы был известен и до Архимеда, объем шара легко получается засовыванием шара в ведро и заливанием водой, этого для всех тогдашних применений должно было хватать.

И для всех прочих применений, спору нет, полезных в хозяйстве, ему не нужно было выводить правило механики и правило плаванья как теоремы, достаточно было эмпирического утверждения, подтверждённого на опыте.

Архимеду было интересно, как мир устроен, внутри; нередко это знание оказывается полезным и в других областях, но столь же нередко это происходит не сразу. Что было "известно" и до Архимеда, и даже до человека: когда животное сыто и наебано (но больше ещё до всякой ебли, конечно), у него включается поисковое поведение, а не можем ли мы на заработанные калории теперь выбить у природы ещё какую-нибудь закономерность, без очевидных даже перспектив. Маленькие животные могут себе позволить играть и экспериментировать, потому что им это оплатят родители.

В этом смысле, конечно, компьютерные игры не то чтобы зло большое, но грусть печаль, every thought is sacred, every thought is great, if a thought is wasted, God gets quite irate.

И астрономия тоже понадобилась "потом" с гораздо большей точностью, чем давал Птолемей (хотя можно было бы ещё эпициклов навернуть, и все пучком, Фурье равномерно сходится на отрезке к гладкой функции) - для определения местоположения; понадобился для этого также и хронометр. Была ещё премия за точную теорию движения Луны, но тут я уже не очень помню, зачем - может быть считать долготу без хронометра? Вряд ли, конечно, сотня километров на Земле с Луны даёт неизмеримый теми средствами угол.

Как выражается Миша, "как оказалось впоследствии", они были не идиоты. Но вообще как я уже писал, ценность науки во многом в ее целости; и главным поп-достижением теории чисел является не протокол https, а создание комплексного анализа, помимо прочего, слава великому Чебышеву!