Настроение:	tired
Музыка:	Heldon - INTERFACE
Entry tags:	g_2, maths

плюрисубгармонические функции на G_2-многообразии
Научное вот (общались с коллегой в воскресенье).

Ниже излагается правильное определение плюрисубгармонических
функций на G_2-многообразии.

Вкратце, речь идет вот о чем. Пусть задано гиперкомплексное
многообразие. На нем есть дифференциальный оператор D второго
порядка, отображающий функции в кватернионно-эрмитовы формы
(кватернионный аналог оператора d d^c, определенного
в комплексной ситуации). Его можно получить так, например -
взять обычный d d^c, для какой-то из комплексных структур,
и усреднить по кватернионам. Метрика, которая локально
получается как D(\phi), называется HKT (гиперкэлерова
с кручением), а потенциал \phi - HKT-потенциал.
Функция кватернионно плюрисубгармонична, если
форма D(\phi) положительна. Известные свойства
плюрисубгармонических функций в такой ситуации
тоже выполнены.

Конечно, есть у этого дела и плоский аналог -
оператор d^2/dx^2 на аффинном многообразии
делает из функции симметрическую 2-форму,
и для него можно повторить все то же самое.
Получится, что плюрисубгармоническая
функция в аффинной геометрии - просто
выпуклая.

Нужно это среди прочего вот для чего:
если заданы выпуклые функции a_1, а_2, ...
нужно определить полилинейный функционал
a_1, а_2, ... \arrow \Phi(D(a_1), D(a_2), ...)
со значениями в мерах
который будет (а) зависеть от D(a_i)
и (б) тем не менее, будет непрерывен в
C_0-топологии на выпуклых функциях.
Такие функционалы нужны в выпуклой геометрии
для построения валюаций.

С psh-функциями такие функционалы строятся
так: a_1, а_2, ... а_n переводится в
dd^c(a_1) \wedge dd^c(a_2) \wedge ...
Непрерывность в C_0-топологии обеспечивается
теоремой Черна-Невина-Ниренберга. Об этом
понятно написано тут вот например.

На G_2-многообразии симметрические формы естественно
(и G_2-инвариантно) вкладываются в пространство
3-форм. Проще всего увидеть это, если воспользоваться
оператором C:\; \Lambda^1(M)\arrow \Lambda^2(M),
сопряженный октавному умножению (про этот оператор
я подробно писал тут вот).
Если симметрическая форма задана
\sum a_i \otimes b_i, соответствующая 3-форма задается
\sum a_i \wedge C(b_i) + C(a_i) \wedge b_i.
Поскольку 4-формы изоморфны 3-формам (многообразие
семимерное), можно вложить симметрические формы
в 4-формы, аналогичным способом:
\sum a_i \otimes b_i \arrow \sum C(a_i) \wedge C(b_i).

Аналогов оператора dd^c на G_2-многообразии тоже 2.
Продолжим C на всю алгебру де Рама по правилу Лейбница,
и положим d_c:= \{d, C\} (фигурные скобки обозначают
суперкоммутатор). Этот оператор в разных проявлениях
аналогичен дифференциалу d^c на комплексном многообразии,
про это см. тут опять-таки.
В частности, композиция dd_c есть аналог dd^c из комплексной
геометрии, и она, действительно, бьет из функций
в то часть \Lambda^3(M), которая изоморфна симметрическим
формам. Можно ее еще записать как dCd. Вместо C можно
взять C^2, и мы получим отображение \phi \arrow dC^2d\phi
из функций в симметрическую часть 4-форм.

Плюрисубгармоничность на G_2-многообразии
есть положительность обоих 2-форм:
и dC^2d\phi, и dCd\phi. Геометрически (на плоском
7-мерном пространстве, например
плюрисубгармоничность можно увидеть так: dCd\phi положительно,
если \phi субгармонична на всех ассоциативных
плоскостях (3-плоскостях, сохраняемых октавным
умножением), а dC^2d\phi положительно,
если \phi субгармонична на всех коассоциативных
плоскостях (плоскостях, ортогонал к которым
ассоциативен).

Теперь, искомый оператор выглядит так:
G(\phi)= dCd\phi \wedge dC^2d\phi.
Это 7-форма, то есть мера.

Чтобы все это имело смысл (по крайней мере
для приложений к выпуклой геометрии) нужен
аналог теоремы Черна-Невина-Ниренберга, то есть
чтобы оператор G был непрерывен.
Будем доказывать это так же,
как обычного Черна-Невина-Ниренберга, то есть
будем доказывать более сильную оценку - что
|dCda \wedge dC^2db|_{L^2} < const \max |a|\max|b|
Сначала докажем, что

|dCda|_{L^2} < const \max |a|. (*)

Зафиксируем строго положительную в некотором
открытом множестве 2-форму g с компактным
носителем, и пусть \tilde g - соответствующая
4-форма. Можно оценить |dCda|_{L^2} через
\int \tilde g\wedge dCda, но это же равно
\int a dCd (\tilde g),
то есть ограничено \max |а|\int a dCd (\tilde g).
Мы доказали оценку (*). Теперь, взяв положительную
функцию h, оценим |dCda \wedge dC^2db|_{L^2}
через \int h dCda \wedge dC^2db = \int b dC^2dh \wedge dCda
а последний интеграл оценивается через
\max |b| |dCda|_{L^2}, и в силу (*)
это меньше, чем const \max |b| \max |a|.

По дороге используется
возможность интегрирования по частям:
\int (a \wedge d d_c b) = \pm \int (d d_c a \wedge b)
которую нетрудно доказать, используя тождество Лейбница.

Примерно так вот
Привет