Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2004-09-21 02:45:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Promyshlennaya Arkhitektura - LETARGIYA

"сильный принцип максимума"
Мы привыкли, что принцип максимума применяется
к гармоническим функциям, то есть таким, что среднее
значений этой функции на любом шаре есть значение в
центре шара. Понятно, что если такая функция, заданная
на области, достигает где-то внутри оной максимума,
она постоянна.

Гармонические функции задаются условием второго
порядка - на них зануляется оператор Лапласа. Из
интегрирования оператора Лапласа следует, что
дифференциал гармонической функции на
компактном многообразии равен нулю,
соответственно в принципе максимума
нет ничего удивительного.

Имеется чрезвычайно полезный "сильный принцип максимума",
который позволяет работать с другими эллиптическими
операторами и приводит к результату, который не очевиден.
Именно, пусть задан эллиптический оператор L второго порядка
на функциях (такой оператор обязательно задается как
сумма оператора Лапласа, для какой-то метрики, и
дифференциального оператора первого порядка).
Пусть L(1) \leq 0 (т.е. постоянный член L
неположительный), а L(u)\geq 0. Тогда
тоже имеет место принцип максимума: если
функция u достигает максимума внутри области,
она постоянна.

Очень полезное утверждение, сообщенное мне этой
весной бесценным Семеном А. и сегодня с пользой
примененное к гомологической алгебре.

Вот где этот принцип например сформулирован:
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0102047

Ссылаются на

[25] D. Gilbarg and N. S. Trudinger.
Elliptic Partial Differential Equations of
Second Order. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

Я его, признаться, немедленно позабыл, и сегодня
провел битый час, пытаясь вспомнить в чем дело.
Поэтому записываю.

С физической точки зрения
это утверждение вполне очевидно. Все такие операторы
представляются в виде (Лаплас + константа + производная
Ли вдоль какого-то поля v). Гармонические
функции суть функции, задающие стабильное
распределение температуры в однородной среде.
Функции, на которых зануляется L, задают стабильное
распределение температуры в среде жидкости,
которую постоянно размешивают определенной мешалкой
(мешалка это векторное поле v). Естественно,
что если эта система стабильна, у каждой
точки есть соседи, которые теплее и такие,
которые холоднее, либо температура везде
одна и та же.

Очень интересно.

Привет



(Добавить комментарий)


[info]_alien@lj
2004-09-20 15:34 (ссылка)
это сколько ж веков люди беззастенчиво юзают алгебраическую геометрию, помешивая каши, варенья и прочее.., температурно-усредняя соседние "частички", заметьте, мат.факи они не все заканчивали..

(Ответить)


[info]dgse@lj
2004-09-20 21:45 (ссылка)
А каким образом оный принцип к гомологической алгебре может применится?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_tipharet@lj
2004-09-20 23:05 (ссылка)

У меня в этой вот статье строится несколько
странный (не самосопряженный) оператор
Лапласа именно такого вида
http://arxiv.org/abs/math.AG/0112215
теперь я доказываю, что он обратим
на точных формах, из чего следует
формальность ДГ-алгебры, которая
считает когомологии. А поскольку
ситуация весьма нередкая, получается
очень сильная теорема формальности
для некэлеровых многообразий.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)

Интересно
[info]0_5@lj
2004-09-20 22:46 (ссылка)
Надо запомнить, пригодится.

(Ответить)


[info]ex_ex_annut@lj
2004-09-22 07:47 (ссылка)
тоже изначально показалось очевидно исходя из физического принципа
даже не поняля из чего ты это начал рассказывать
а вот и иллюстрация принципа максимума (чем краснее тем горячее!)
Image

(Ответить)