Re: Геометрия 9

>Миша, а Вы в ближайший месяц этими
> листками заниматься будете?

Обязательно! Там еще где-то 6 листков осталось сделать.

> Я уже писала, что к задачам 9.4, 9.5 хорошо бы
> указания дать. Я их умею просто решать через
> линейную связность, но детям-то еще про это
> не рассказывали.

Абсолютно! Я планировал сделать еще секцию про
линейную связность, но не получилось.
Теперь добавлено.

> А вообще про линейную связность вы будете
> рассказывать?

Конечно! Там же, где фундаментальная группа.

> В задаче 9.21 надо еще какое-то условие
> отделимости, иначе неверно.

Спасибо! Да, это недосмотр.

> Задача 9.23. Как доказывать, что М_1 вполне
> несвязно, я не поняла... Может, указание тут
> дать?

Ага.
Там было что-то, но коллега убрал за банальностью.
Я написал

\begin{ukazanie}
Если $S\subset M_1$ связно, то прообраз
$\pi^{-1}(S)$ тоже связен. Действительно, если
$W\subset \pi^{-1}(S)$ открытозамкнуто,
$W= \pi^{-1}(W_1)$ (если $W$ пересекается
со связной компонентой $M$, $W$ ее содержит).
Но тогда $W_1$ открытозамкнуто.
\end{ukazanie}

> Задача 9.25. Не хватает понятия
> наследственного свойства (оно и в старых
> листках было бы кстати), мне кажется, надо бы
> его дать где-то. Поскольку хаусдорфовость
> наследственна, то P хаусдорфово, компактно
> (как замкнутое подпр-во компакта) и вполне
> несвязно. Дальше про М можно забыть и
> ограничиться рассмотрением Р как основного
> пространства. Все становится гораздо
> нагляднее, и предыдущая задача не нужна.

В типичной ситуации, $P$ состоит из двух точек.
Я не очень понимаю, как этому помогает наследственность.

> Задача 9.26. Не соображу, как доказывать :-)

\begin{ukazanie}
Пусть дано открытое подмножество $U\subset M$ и в нем
точка $x$. Возьмем у каждой точки $M\backslash U$
открытозамкную окрестность, не содержащую $x$
(докажите, что это можно сделать).
Мы получим покрытие $\{U_\alpha\}$
множества $M\backslash U$.
Поскольку $M\backslash U$ компактно,
из $\{U_\alpha\}$ можно выбрать конечное
подпокрытие $U_1, ... U_n$. Докажите, что
дополнение к $\cup U_i$ открытозамкнуто,
содержит $x$ и содержится в $U$.
\end{ukazanie}

> Задача 9.28. Пропущено М в "отображений в
> {0,1}".
> Не помню, термин "вложение" подразумевает
> непрерывность?

Вообще-то нет. Правильно было бы пользоваться
категорным языком и вместо "отображения"
везде писать "морфизм".

Все остальное тоже поправил, спасибо!

> Кстати, Вы список рекомендованной
> литературы еще не добавляете в листки? А то
> кое-кто из студентов уже сейчас бы книжки
> читал, если б знал, какие. Читать параллельно
> с задачами было бы полезно.

По топологии - Фукс-Фоменко, а также Рохлин-Фукс
("Топология", кажется). По алгебре - Постников,
Кострикин-Манин, Гельфанд (линейная алгебра),
Ван дер Варден (алгебра). Еще были полезные
книжки "P-адические числа, p-адический анализ
и дзета-функции" (Н. Коблиц) и "Курс арифметики"
Серра.

Но вообще по алгебре более осмысленно изучить
сразу группы Ли (Серра "Группы и алгебры Ли"
например) и потом вернуться к линейной
алгебре и повторить.

Такие дела
Миша