Все это чрезвычайно забавно, ибо
математическое сообщество в целом уже лет 40 считает,
что теория множеств нигде в математике проявляться
не может и не должна, а если проявляется, то к этому
есть специальные (и весьма экзотические) причины.

это да, но тем не менее, лемма Цорна используется в доказательстве существования базиса Гамеля и теоремы Хана-Банаха, которые используются на каждом шагу. да в любом доказательстве, которое по сути индуктивно, но множество, по которому идёт индукция, либо слишком большое, либо заранее просто не известна его мощность, приходится использовать лемму Цорна.

И это правда, конечно (есть изолированные и давно не
развивающиеся разделы математики, которые с теорией
множеств тесно связаны, но к ним остальные специалисты
относятся весьма кисло, и не без взаимности; и есть
логика, давно уже отделившаяся в отдельную науку).

а на самом деле -- зря. на нестандартных моделях теориях множеств строят "альтернативные математики", которые во многом привлекательны. не встречали никогда трудов Кутателадзе по так называемому булевозначному анализу ? он рассматривает разные структуры в специальной нестандартной теории множеств, и у него есть принцип переноса результатов из этой теории множеств в стандартную. получается интересно, например, множестово действительных чисел в этой теории множеств фактически является упорядоченным векторным пространством, что даёт естественное об`яснение, почему для пространств с векторной нормой (значения нормы в упорядоченном векторном пространстве) можно получить те же результаты, что и для скалярно нормированных пространств.