Настроение:	tired
Музыка:	Hybrids - Ritual Should Be Kept Alive

рациональные гомотопии сасакиевых многообразий
Вот, кстати, чрезвычайно полезный научный обзор
http://arxiv.org/abs/math.DG/0411503
Liviu Ornea: Locally conformally K\"ahler manifolds.
A selection of results

Ливиу в свое время (1997) про них целую книгу написал.

В принципе, наука сия ничуть не менее интересна,
чем обычная кэлерова геометрия, но гораздо менее изучена,
а в последние два года был сделан большой прогресс.
В том числе и моими стараниями, да.

А я тем временем размышлял о гомотопической формальности.
Хорошо известно, что любое компактное кэлерово
многообразие формально; это есть в принципе говоры
один из главных результатов математики прошлого
(двадцатого т.е.) века. Верно ли сие для локально
конформно кэлеровых? Изначально мне казалось, что
да, но оказалось, что нет, практически никогда.

Я решил этот вопрос вполне определенно для
вайсмановых многообразий. Последние топологически
представляют собой тривиальное расслоение над окружностью,
со слоем сасакиево многообразие; а сасакиевы
многообразия топологически являются тем, что
Коллар называет расслоения
Зейферта, а попросту - расслоения на единичные
окружности в каком-то обильном линейном расслоении
над алгебраическим многообразием X. Это следует
из результатов наших с Ливиу (math.AG/0306077 и
math.DG/0305259).

Для таких расслоений мне удалось доказать, что
их ДГ-алгебра де Рама гомотопически эквивалентна
алгебре $H^*(X\times S^1)$, с дифференциалом, переводящим
образующую $H^1(S^1)$ обильный класс, по которому
построено расслоение. Это сводит все вопросы рациональных
гомотопий к банальному вычислению. Оказывается, что
сасакиево многообразие формально тогда и только
тогда, когда у него зануляются произведения Масси;
а произведения Масси считаются так - берется
три класса когомологий x, y, z в примитивных формах,
такие, что xy и yz ортогональны примитивным и
копримитивным классам. (*) Теперь берется
$t := \Lambda(xy)z - x \Lambda(yz)$,
а произведение Масси будет копримитивная компонента
класса t. Никаких классов алгебраических
многообразий, в которых такая операция
а приори обнулялась бы, я не нашел, так
что результат в целом негативный.

Записывать это дело в виде статьи я не буду,
времени мало, да и особо заинтересованных в вопросе
людей что-то не видно. Жалко, нет студентов,
спихнуть им эту тему - наверняка там можно
всякого интересного навычислять.

Но если когда-нибудь возникнет вопрос - вот он, мой
приоритет, так и запишите.

Вот еще, кстати, смешное до упаду, если вдуматься
http://arxiv.org/abs/math.AG/0408336

Привет

(*) Апропос: примитивные формы - это
$\ker \Lambda$, копримитивные - $\ker L$.
$\Lambda$, $L$ - стандартные операторы Ходжа.
Из описания, которого я дал, получается,
что когомологии сасакиева многообразия - сумма
примитивных форм и копримитивных с градуировкой,
сдвинутой на 1. Это также немедленно следует
из соответствующей спектральной последовательности
расслоения.