Настроение:	tired
Музыка:	Camel - SNOW GOOSE

проконечные свободные группы
Ходил на семинар. Рассказывал
П. Залесский, из Бразилии.
Рассказывал про проконечные свободные группы.
Все знают, что подгруппа свободной группы свободна.
Если взять проконечное пополнение, это уже не так;
известно только, что подгруппа проконечной свободной
группы проективна в соответствующей категории
(то есть всякий эпиморфизм на нее допускает сечение).
Нормальные подгруппы H проконечной свободной группы
описаны Мельниковым (О.В.) и Любоцким; они интересны тем,
что любая собственная открытая подгруппа H свободна.

Борьба идет за то, чтобы распространить эти результаты
на проконечное пополнение фундаментальной группы $\pi_1(X)$
римановой поверхности. Первый результат
получается как обобщение известной теоремы о том, что
подгруппа бесконечного индекса в $\pi_1(X)$ свободна.
Оказывается, что для проконечного пополнения
эта теорема обобщается так - подгруппа
сверхъестественно (supernatural) бесконечного
индекса в пополнении $\pi_1(X)$ свободна.
Сверхъестественный индекс принимает значения
в множестве вида $\prod_p p^{\alpha_p}$,
где $p$ пробегает все простые числа, а
$\alpha_p$ натуральное число или бесконечность.
Для подгрупп проконечных групп этот индекс хорошо
определен. Подгруппа пополнения $\pi_1(X)$
проективна, если сверхъестественный индекс
бесконечен в каждом простом числе.

Вторая же теорема такая - нормальная подгруппа
пополнения $\pi_1(X)$ (она, кажется, а постериори
будет бесконечного индекса) изоморфна нормальной
подгруппе проконечной свободной.

Это нужно для изучения конгруэнц-проблемы, которая
имеет место для любой алгебраической группы G(O) над кольцом
целых алгебраических чисел O. Конгруэнц-подгруппа такой
группы есть подгруппа вида $G(1+I)$, где $I$ это идеал в $O$.
Вопрос такой - любая ли подгруппа конечного индекса может
быть получена как конгруэнц-подгруппа. Клейн (1896) доказал,
что это неверно для $SL(2,Z)$, a Серр, Басс, Милнор
и другие люди (в 1960-х) - что это верно для групп
ранга >1. Для $SL(2,Z)$ и других групп ранга 1,
можно задаться вопросом о ядре отображения из
проконечного пополнения в пополнение по
конгруэнц-подгруппам (конгруэнц-проблема
решается положительно тогда и только тогда,
когда эта группа нулевая). Мельников доказал, что
для $SL(2,Z)$ эта группа - свободная проконечная
со счетным числом образующих, а Залесский
обобщил сие на некоторые другие кольца.

Очень интересно, да.

В Глазго вообще алгебра расцвела, а геометрия,
по совокупности причин, сдохла. Я тут ни при чем
совершенно (наоборот, лоббировал, чтобы приняли
постдока по геометрии, а меня не послушали и
взяли по алгебре).

Привет