Настроение:	tired
Музыка:	Nord'n'Commander - Maps of shadow travelling
Entry tags:	maths

определение особого гиперкэлерова многообразия
Полезное научное достижение, которое я в виде статьи
публиковать не стану, за недостатком времени.

Лет 8 тому назад я опубликовал серию статей насчет
"особых гиперкэлеровых многообразий". Конечным
результатом этой деятельности было то, что
никаких "особых гиперкэлеровых многообразий" на самом
деле нет - все эти особенности разрешаются нормализацией,
и разрешение тоже гиперкэлерово.

Дело в том, что общепринятое в то время (благодаря Делиню
и Симпсону) алгебро-геометрическое определение особого
гиперкэлерова многообразия было слишком узким (чего ни
Делинь, ни Симпсон, кажется, не понимали). В частности,
факторособенности по действию конечной группы в рамках
этого определения гиперкэлеровыми не были.

Есть еще одно определение особого гиперкэлерова
многообразия, которое я недавно изобрел. Пусть
задано метрическое пространство, геодезически полное,
гиперкэлерово вне открытого множества хаусдорфовой меры нуль;
и пусть любой геодезический отрезок продолжается до
локально изометрического отображения из прямой.

Это определение особого гиперкэлерова многообразия
(а) включает многообразия с факторособенностями
и вообще все, полученное гиперкэлеровой редукцией
(б) особенности восстанавливаются, если задана
открытая (гиперкэлерова) часть: многообразие
получается как метрическое пополнение открытой
части. Еще это определение работает для
любых многообразий со специальной
голономией - скажем, можно определить
таким образом особое G_2 или Spin(7)-многообразие.

Важный специальный случай - изолированные
особенности. Хочется доказать, что все такие особенности
конические и (в гиперкэлеровой ситуции) получаются
асимптотически как конус над контактным многообразием
Фано.

Доказать я это могу, но в более сильных предположениях.

Дело в том, что из этого опредление не вытекает
а приори даже вещественная аналитичность многообразия.
Для вещественной аналитичности нам нужно, чтобы
особенность имела пседовыпуклую окрестность.
Но как ее построить - мне не очень понятно.
Функция F "расстояние до особенности"
должна быть, по идее, в окрестности особенности
плюрисубгармонична (и даже геодезически выпукла),
но доказать это я могу только в дополнительном
предположении

(*) Рассмотрим функцию R на многообразии, ставящую
в соответствие точке супремум секционной кривизны
в этой точке. Тогда R/F^2 ограниченно в окрестности
особенности

Иначе говоря, нам нужно, чтоб кривизна не росла
быстрее, чем обратный квадрат к расстоянию до
особенности, и из этого сразу выводится, что
F выпукла на геодезических в какой-то окрестности.

Используя зануление кривизны Риччи, можно доказать,
что F субгармонична, но этого, конечно, недостаточно.

Патологическая ситуация, которая может
(теоретически) иметь место, такая: мы берем
\epsilon-шар вокруг особенности, и его геодезическая
выпуклая оболочка оказывается равна всему многообразию,
для любого \epsilon. То есть нужно следующее условие,
вытекающее из (*)

(**) У особенности есть ограниченная геодезически
выпуклая (или псевдовыпуклая) окрестность.

Если (*) или (**) верно, то (как следует из
теоремы Андреотти-Рисса), пучок голоморфных функций,
заданных вне особенности на некоторой ее окрестности,
глобально порожден, из чего сразу следует, что
особенность вещественно аналитическая.
Более того, эта вещественная аналитическая
структура одна и та же для всех комплексных
структур, индуцированных гиперкэлеровой.
Коничность особенности следует из этого
автоматически, как видно из
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9612013
или из http://arxiv.org/abs/alg-geom/9703016
(предложение 5.10).

Это само по себе не бесконечно интересно,
кажется, зато аналогичный результат про G_2-многообразия
было бы чрезвычайно здорово получить (ибо
особенности G_2-многообразий применяются в
физике постоянно). Как и в доказательстве
однородности гиперкэлеровых особенностей,
нужно использовать геометрические структуры,
полученные изучением псевдоголоморфных
кривых на пространстве твисторов.

Дело в том, что гиперкэлерово многообразие
имеет пространство твисторов, снабженное
рациональными кривыми, нормальное расслоение
которых есть прямая сумма O(1). Это значит,
что через общую пару точек проходит
конечное число деформаций такой кривой:
мы имеем геометрию, напоминающую
геометрию в пространстве (где через
любую пару точек проходит ровно одна
прямая). Пользуясь этими структурами,
можно доказать однородность.

Так вот, у G_2-многообразия M есть
пространство твисторов Tw(M), наделенное
почти комплексной структурой и рациональными
кривыми с таким же нормальным расслоением.
Это пространство получается так - берется
расслоение единичных сфер в касательном
прострастве к M, умножается на S^1,
и на этом произведении (вещественной
размерности 14) есть каноническая
почти комплексная структура.

Примерно так.