Так при чем тут ординалы, я не понимаю? Вы ведь хотите пример группы, в которой мера Хаара определяется не единственным образом. Как нумерация этих $\epslilon_i$ ординалами поможет вам определить "необычную" меру на этой группе?

Если вы хотите воспользоваться идеей из поста ("другая кладет каждому подмножеству, содержащемуся в замкнутом отрезке, ноль, а не содержащемуся в замкнутом отрезке - 1."), то:
1) для этой идеи не надо нумерации ординалами, достаточно взять группу, порожденную одной бесконечно малой,
2) эта идея вообще не задает конечно-аддитивную меру: чему будет равна мера объединения двух таких "больших" множеств? ;-)