Имеется в виду лексикографический порядок для линейного пространства?
И база порождается отрезками, как вы писали?
Но ведь тогда никакой отрезок, у концов которого различны координаты с бесконечным номером, не будет лежать в сигма-алгебре, порожденной компактными подмножествами. То есть достаточно взять ординалы не до первого несчетного, а все конечные + первый счетный, и получим то же самое. Для любого множества из сигма-алгебры, его проекция на прямую, соответствующую бесконечному ординалу, будет либо не более чем счетным, либо косчетным множеством (то есть эти проекции образуют сигма-алгебру, порожденную конечными множествами). Ну и определить двузначную меру через эту проекцию. Вроде бы это проще, чем несчетный ординал брать.