Какая аксиоматика лучше, NBG или MK?
>>Какая аксиоматика лучше, NBG или MK?
Мне нравится MK, потому что это почти как мортал комбат.

Отвечает Степан Казанин

В целом обычному человеку представляется практически
невозможным уловить разницу между двумя аксиоматиками,
поэтому, казалось бы, это очередной опрос с результатом
ровно 50/50. А я возьму да и постараюсь её объяснить.
NBG — это т. н. консервативное расширение ZFC,
то есть все теоремы NBG, в которых не встречается понятие
класса, доказуемы уже в ZFC. По сути, NBG — не более чем
формализация уточнения "Давайте введём новую букву для
несуществующих объектов в духе {x|P(x)}". NBG не в состоянии
доказать аксиому выбора для классов, индукцию по множествам
собственноклассной длины, и почти все вещи, которые мы хотели
бы перенести с обычных множеств. MK отличается тем, что в схеме
выделения можно использовать параметры по классам, и таким
образом, в доказательствах многих простых утверждений можно
слова "множество" заменять на слово "класс". MK в состоянии
доказать аксиому выбора для классов, индукцию по множествам
собственноклассной длины, а так же в состоянии сформулировать
и доказать утверждение "Класс всех множеств является моделью ZFC"
(В NBG понятие модели собственноклассного размера и вовсе
нельзя определить, нужна некая индукция с параметрами по классам).
Такие расширения теории множеств время от времени требуются
при формализации теории категорий. Однако MK представляется
некоторой полумерой по сравнению с существованием недостижимых
кардиналов, или, как их называют геометры, универсумов Гротендика.
В MK мы можем сказать, что категория всех абелевых групп
— это собственный класс, но мы лишены возможности определить
категорию функторов на категории абелевых групп (элементами
класса по прежнему могут быть только множества!).
Подход с универсумами же намного более удобен.

P.S. Теория почти универсумов всё же формализуется в MK
посредством принципа отражения. Он утверждает,
что если некоторый собственный класс V представлен в виде
объединения возрастающей цепи множеств V_a, a пробегает
все ординалы, то... и вот тут начинаются проблемы с формулировкой.
ZFC/NBG: для любого конечного набора аксиом можно выразить
"V модель этих аксиом" и доказать "Существуют сколь угодно большие
a, такие что V_a модель этих аксиом". В принципе этого было бы
достаточно для построения теории категорий, так как для любой
конкретной теоремы нужно лишь конечное число аксиом ZFC,
и мы удовлетворились бы таким частичным универсумом.
Так впрочем, никто не делает, потому что логика блядь да иди ты
нахуй говноед сраный гори в аду вот почему!!1111!
MK: Можно по-честному выразить "V модель теории Т" и доказать
"Существуют сколь угодно большие a, такие что V_a модель теории Т".
Это не универсумы Гротендика, а всего лишь множества, про которые
утверждается, что это модель ZFC. Вообще для скромных математических
целей это тоже прекрасно годится, единственная трудность — нужно
помнить, что вообще говоря не "x из V_a -> 2^x из V_a", а "x из V_a
— {y из V_a | y подмножество x} из V_a". Я вообще не видел, чтобы
кто-то заморачивался объяснением, на основе каких аксиом строится ТК
и вся дальнейшая математика, обычно говорят "универсумы и иди нахуй"
или "иди нахуй".