Задачка
В герметичной колбе находится N бактерий. В какой-то момент туда попадает вирус!

В первую минуту -- вирус уничтожает бактерию, сразу после этого вирус и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту -- два вируса уничтожают две бактерии, сразу после этого вирусы и бактерии делятся пополам. Дальнейшее, я думаю, ясно.

Вопрос: может ли наступить момент, когда в колбе не останется бактерий?
Если да, то когда он наступит? И сколько тогда в колбе останется вирусов?

(Я знаю, что вирусы сами по себе не делятся. Претензии -- к авторам задачи. :)



Поскольку вирусы не гибнут -- это значит, что на k-той минуте в колбе всегда будет 2^k вирусов.

С бактериями чуть сложнее: их число на k-той минуте будет 2^k(N-k).
В этом проще всего убедиться по индукции: для k=0 это, очевидно верно.
Если это верно для k, то для k+1:

2(2^k(N-k) - 2^k) = 2(2^k(N-k-1)) = 2^(k+1)(N-(k+1))

-- это также будет верно.

Отсюда ясно, что при k=N бактерий в колбе не останется! Там останутся только вирусы, в количестве 2^N.



(Если интересно: задача из сборника "Московские математические олимпиады" Гальперина и Толпыго)