| -- |
[Dec. 5th, 2011|12:03 am] |
Узнал тут крутое доказательство эргодичности геодезического потока на многообразии постоянной отрицательной кривизны (из одноимённой стать Гельфанда и Фомина).
Пусть G = SL(2, R), H - верхняя полуплоскость со стандартной неевклидовой метрикой. G изометрически, свободно и транзитивно действует на расслоении SH единичных касательных векторов H, потому фиксируя какой-то начальный вектор Z_0 мы получаем отождествление SH и SL(2, R): \gamma \in G <-> \gamma Z_0.
Геодезический поток u_t, по определению, тащит каждый вектор из SH по единственной геодезической, которая через него проходит.
Пусть теперь M - поверхность постоянной отрицательной кривизны. Тогда есть такая дискретная подгруппа Г = \pi_1(M) в G, что M = Г\H, SM = Г\G. Геодезический поток теперь аналогичным образом таскает смежные классы.
Пусть m - G-инвариантная мера на SМ. Тогда каждый g \in G - унитарный оператор на L^2(SM, m). По теореме Колмогорова-Маутнера, это унитарное представление раскладывается в обобщенную прямую сумму неприводимых. Все неприводимые унитарные представления SL(2,R) известны, и Гельфанд с Фоминым проверяют, что спектры операторов u_t в этих представлениях непрерывны. Всё, эргодичность в кармане!
Заметим, что единичное представление входит в эту обобщенную прямую сумму с кратностью 1 - G действует транзитивно на SM, потому все неподвижные функции - константы. Пусть теперь f \in L^2(SM, m) - u_t-инвариантная функция. Из непрерывности спектра в неприводимых представлениях получаем, что проекция f на бесконечномерные неприводимые представлению нулевая. Единичное представление входит с кратностью 1, потому все u_t-инвариантные функции - константы, что и требовалось.
Потом они как-то доказывают, что если спектры во всех неприводимых непрерывны, то и спектр в L^2 непрерывен, и из этого получают перемешивание. Но это я не разбирал. |
|
|