| -- |
[Dec. 5th, 2011|12:03 am] |
Узнал тут крутое доказательство эргодичности геодезического потока на многообразии постоянной отрицательной кривизны (из одноимённой стать Гельфанда и Фомина).
Пусть G = SL(2, R), H - верхняя полуплоскость со стандартной неевклидовой метрикой. G изометрически, свободно и транзитивно действует на расслоении SH единичных касательных векторов H, потому фиксируя какой-то начальный вектор Z_0 мы получаем отождествление SH и SL(2, R): \gamma \in G <-> \gamma Z_0.
Геодезический поток u_t, по определению, тащит каждый вектор из SH по единственной геодезической, которая через него проходит.
Пусть теперь M - поверхность постоянной отрицательной кривизны. Тогда есть такая дискретная подгруппа Г = \pi_1(M) в G, что M = Г\H, SM = Г\G. Геодезический поток теперь аналогичным образом таскает смежные классы.
Пусть m - G-инвариантная мера на SМ. Тогда каждый g \in G - унитарный оператор на L^2(SM, m). По теореме Колмогорова-Маутнера, это унитарное представление раскладывается в обобщенную прямую сумму неприводимых. Все неприводимые унитарные представления SL(2,R) известны, и Гельфанд с Фоминым проверяют, что спектры операторов u_t в этих представлениях непрерывны. Всё, эргодичность в кармане!
Заметим, что единичное представление входит в эту обобщенную прямую сумму с кратностью 1 - G действует транзитивно на SM, потому все неподвижные функции - константы. Пусть теперь f \in L^2(SM, m) - u_t-инвариантная функция. Из непрерывности спектра в неприводимых представлениях получаем, что проекция f на бесконечномерные неприводимые представлению нулевая. Единичное представление входит с кратностью 1, потому все u_t-инвариантные функции - константы, что и требовалось.
Потом они как-то доказывают, что если спектры во всех неприводимых непрерывны, то и спектр в L^2 непрерывен, и из этого получают перемешивание. Но это я не разбирал. |
|
|
| Comments: |
| From: | ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif) oort |
|---|
| Date: | January 16th, 2012 - 08:28 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
спасибо кстати а вот только у меня записи семинара буфетова-ольшанского нормально не показываются? что там подразумевается под спиралью (или как называется это). связано ли это со старинной деятельностью крейна-гохберга про несамосопряженные операторы (у них там тоже какие-то спиральные в гильбертовых пространствах). просто интересно про что это, ссылки типа.
| From: | pet531 |
|---|
| Date: | January 16th, 2012 - 09:02 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
Там мощный компьютер нужен, я вот не могу смотреть нормально на своём нетбуке. Спираль = винтовая линия - это кривая Г : \mahtbb{R} -> H такая, что \|Г(t)-Г(t+r)\| = N(r) - не зависит от t. На счет несамосопряженных операторов не знаю, очень может быть, учитывая, что рассказывал это Ольшанский. Я так понимаю (и это упоминалось на семинаре), что это всё связано с деятельностью Винера и Колмогорова про броуновское движение и стационарные процессы, типа вот http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=3775&option_lang=rus и еще статья Колмогорова в "Избранных трудах...", "Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве". У меня есть конспект семинара, могу дать почитать, а если уж очень интересно - можно достать и качественный конспект.
| From: | oort |
|---|
| Date: | January 17th, 2012 - 10:42 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
| From: | oort |
|---|
| Date: | January 17th, 2012 - 10:47 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
блин,нет
звук рассинхрон
| |