| |
[Jun. 23rd, 2013|10:03 pm] |
Прикольная штука симплициальный объём.
Симплициальным объёмом ориентированного многообразия называется инфимум сумм модулей коэффициентов в представлении фундаментального класса (инфимум по сингулярным цепям) (в случае открытого многообразия может быть бесконечным). Пример: симплициальный объём окружности (и любой сферы) = 0. Берём симплекс, который получается n-кратной намоткой отрезка на окружность. Чтобы получить из него фундаментальный класс, его нужно поделить на n. Вообще, если есть отображение индекса \geq 2, то симплициальный объём равен 0.
Теорема.
Если у компактного многообразия фундаментальная группа аменабельна, то симплициальный объём равен 0.
Теорема.
Если компактное многообразие размерности n > 2 rationally essential (что значит, что нет классифицирующего отображения в K(\pi, 1), которое попадало бы в (n-1)-остов) и его фундаментальная группа гиперболична, то симплициальный объём не равен 0.
upd:
я нашел это по книжке Бессе, а там такая теорема:
если M -- эйнштейново 4-мерное, то объём M \leq 2592\pi^2\chi(M).
Прикольно, по-моему. Придумал, конечно, Громов. |
|
|