| |
[Jun. 23rd, 2013|10:03 pm] |
Прикольная штука симплициальный объём.
Симплициальным объёмом ориентированного многообразия называется инфимум сумм модулей коэффициентов в представлении фундаментального класса (инфимум по сингулярным цепям) (в случае открытого многообразия может быть бесконечным). Пример: симплициальный объём окружности (и любой сферы) = 0. Берём симплекс, который получается n-кратной намоткой отрезка на окружность. Чтобы получить из него фундаментальный класс, его нужно поделить на n. Вообще, если есть отображение индекса \geq 2, то симплициальный объём равен 0.
Теорема.
Если у компактного многообразия фундаментальная группа аменабельна, то симплициальный объём равен 0.
Теорема.
Если компактное многообразие размерности n > 2 rationally essential (что значит, что нет классифицирующего отображения в K(\pi, 1), которое попадало бы в (n-1)-остов) и его фундаментальная группа гиперболична, то симплициальный объём не равен 0.
upd:
я нашел это по книжке Бессе, а там такая теорема:
если M -- эйнштейново 4-мерное, то объём M \leq 2592\pi^2\chi(M).
Прикольно, по-моему. Придумал, конечно, Громов. |
|
|
| Comments: |
| From: | ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif) maniga |
|---|
| Date: | June 23rd, 2013 - 08:28 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
конечно
клево, да
только у тебя линк поехал
| From: | pet531 |
|---|
| Date: | June 23rd, 2013 - 08:42 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
поправил, спасибо!
| From: | oort |
|---|
| Date: | June 23rd, 2013 - 09:36 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
>объём M \leq 2592\pi^2\chi(M)
а если мы метрику просто растягиваем каким-то фиксированным положительным числом, то эйнштейновость от этого же не меняется, и топология не меняется, а объем можно сделать большим вроде.
| From: | pet531 |
|---|
| Date: | June 23rd, 2013 - 09:45 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
это же не тот объём. этот называется симплициальный и это топологический инвариант, как легко видно из определения.
| From: | oort |
|---|
| Date: | June 23rd, 2013 - 09:50 pm |
|---|
| | | (Link) |
|
я дурак понял | |