| |
[Jun. 25th, 2013|06:48 pm] |
Продолжая про странные вещи:
результат про аменабельные группы из прошлого поста не очень сложный оказался. Нужно использовать bounded cohomology.
Пусть G -- дискретная группа. Рассмотрим её стандартный когомологический комплекс -- комплекс функций на степенях G. У него есть подкомплекс ограниченных функций.
G называется аменабельной, если на ограниченных функциях на G есть левоинвариантая мера. Интегрирование по последнему аргументу задаёт стягивание комплекса ограниченных функций (ограниченность гарантирует, что интегрирование снова даёт ограниченную функцию). Потому у аменабельной группы ограниченных когомологий нет (!).
У многообразий тоже бывают ограниченные когомологии: нужно смотреть на коцепи, значения которых на всех симплексах ограничены. Оказывается, что если f: M \to N задаёт изоморфизм фундаментальных групп (более общо -- сюръекция с аменабельным ядром), то f задаёт также изоморфизм ограниченных когомологий. Характеристическое отображение в K(\pi, 1), таким образом, задаёт изоморфизм ограниченных когомологий фундаментальной группы и ограниченных когомологий многообразия. Пользуясь результатом про аменабельные группы, получаем, что если фундаментальная группа аменабельна, то ограниченных когомологий нет.
Если теперь объём был бы не равен нулю, то класс, двойственный фундаментальному, задавал бы класс ограниченных когомологий.
Как появляется фундаментальная группа всё равно непонятно, правда, но почему аменабельная понятно хотя бы. |
|
|