Сердечно благодарю за коментарий - [entries|archive|friends|userinfo]
pet531

[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| Land of Uz ]

[Jun. 25th, 2013|06:48 pm]
Продолжая про странные вещи:

результат про аменабельные группы из прошлого поста не очень сложный оказался. Нужно использовать bounded cohomology.
Пусть G -- дискретная группа. Рассмотрим её стандартный когомологический комплекс -- комплекс функций на степенях G. У него есть подкомплекс ограниченных функций.

G называется аменабельной, если на ограниченных функциях на G есть левоинвариантая мера. Интегрирование по последнему аргументу задаёт стягивание комплекса ограниченных функций (ограниченность гарантирует, что интегрирование снова даёт ограниченную функцию). Потому у аменабельной группы ограниченных когомологий нет (!).

У многообразий тоже бывают ограниченные когомологии: нужно смотреть на коцепи, значения которых на всех симплексах ограничены. Оказывается, что если f: M \to N задаёт изоморфизм фундаментальных групп (более общо -- сюръекция с аменабельным ядром), то f задаёт также изоморфизм ограниченных когомологий. Характеристическое отображение в K(\pi, 1), таким образом, задаёт изоморфизм ограниченных когомологий фундаментальной группы и ограниченных когомологий многообразия. Пользуясь результатом про аменабельные группы, получаем, что если фундаментальная группа аменабельна, то ограниченных когомологий нет.

Если теперь объём был бы не равен нулю, то класс, двойственный фундаментальному, задавал бы класс ограниченных когомологий.

Как появляется фундаментальная группа всё равно непонятно, правда, но почему аменабельная понятно хотя бы.
LinkLeave a comment

Comments:
From:[info]maniga
Date:June 25th, 2013 - 10:59 pm
(Link)
chto-to menja ne ostavljaet oschuschenije vymuchennosti opredelenij chto simplicialnogo ob"ema, chto ogranichenyh kogomologij. vkusovschina, konechno. no kak-to dohrena struktury, chto li, koefficienty kogomologij teper' dolzhny byt' kakie-to normirovannye, chtoby vsjo imelo smysl, i mne neujutno
From:[info]pet531
Date:June 25th, 2013 - 11:23 pm
(Link)
не, ну само собой, анализ же.
но с моей точки зрения вот этот факт про ограниченный комплекс для аменабельной группы, ну что интегрирование -- это гомотопия, оправдывает определение в какой-то мере.
получается, что это не менее естественно, чем аменабельные группы.
From:[info]pet531
Date:June 25th, 2013 - 11:47 pm
(Link)
потом ты че, Громова не уважаешь?
а туда ли ты зашел, парниш?

From:[info]tiphareth
Date:June 26th, 2013 - 03:18 am
(Link)
на самом деле, правильная версия симплициальных когомологий -
integral currents
http://en.wikipedia.org/wiki/Herbert_Federer#Normal_and_integral_currents
http://en.wikipedia.org/wiki/Flat_convergence
http://www.ams.org/journals/bull/1978-84-03/S0002-9904-1978-14462-0/
в этом контексте, обсуждается просто супремум коэффициентов потока,
которым можно представить фундаментальный класс
From:[info]maniga
Date:November 7th, 2014 - 05:46 pm
(Link)
> если на ограниченных функциях на G есть левоинвариантая мера

вот что ты тут имел в виду?

стандартное определение --- на G есть конечно-аддитивная левоинвариантная мера

при чём тут ограниченные функции?
From:[info]pet531
Date:November 8th, 2014 - 12:38 am
(Link)
я небрежно писал, не мера, а среднее. по конечно-аддитивной левоинвариантной мере можно интегрировать ограниченные функции, получается среднее, и можно определять через среднее аменабельность.