| Задача о двух конвертах |
[Jul. 22nd, 2010|04:37 pm] |
Добрый наброс Мембране удался --
Бабий телеграф донёс до меня озабоченность светлейших умов Краснодара задачей о двух конвертах.
Парадокс этой задачи раскрыть легко минут за 5 (не пользуя никакого заумного аппарата),
но написать об этой задаче надо (понеже педивикия про неё пишет такую заумь (что бритва оккама слезами обливается)).
Какое нах распределение призов?! Они там с ума сошли чтоле? А если испытание одно?
Они блять СТАТИСТИЧЕСКИ доказывают абсолютно ТОЧЕЧНЫЙ факт. Нет слов.
Коротше.
Схема эксперимента:
Начало.
Игроку даны два непрозрачных во всех смыслах конверта с баблом.
Известно (в одном конверте бабала ровно в два раза больше чем в другом).
Игрок имеет право взять любой один конверт и открыть.
После чего игрок имеет право либо забрать открытый конверт либо забрать неоткрытый конверт.
Конец. (игрок уходит с деньгами из ровно одного конверта)
Парадокс:
игрок случайно выбрал конверт и нашёл в нём Е евров.
во втором конверте с одинаковой вероятностью может лежать 2Е или Е/2 евров.
Считаем матожидание выигрыша: (2Е)/2 + (Е/2)/2 = 1.25Е > E
Следовательно выгодно всегда менять конверт потому что 1.25Е больше чем если не менять.
Моё объяснение (1):
предположим (выгодно ВСЕГДА менять).
пусть игрок всегда меняет конверт.
тогда он может сменить выбранный конверт ЕДИНСТВЕННЫМ способом (независимо от найденной суммы).
значит можно менять конверт сразу после его выбора ДО его открытия.
выбираем конверт. меняем своё решение. открываем и забираем открытый конверт.
Если после этого всё ещё выгодно менять конверт, сдеаем это ДО его открытия :-)
Найденный бесконечный цикл имхо доказывает ложность предположения о выгоде меняния.
Моё объяснение (2):
разсмотрим совокупность из обоих испытаний вцелом.
сколько исходов у такого совокупного испытания и чем они отличны? ровно два. и отличны они порядком вскрытия конвертов.
Пусть игрок до первого хода выбирает _порядок_ открытия конвертов.
Затем открывает оба и забирает из второго.
Таким образом он в точности повторяет парадоксальную ситуацию, но матожидание приза равно полусумме.
Моё объяснение (3):
Пусть игрок открыл один конверт и узнал Е.
разсмотрим исходы второго испытания: 2Е означает что найденная в первом конверте сумма была меньшая.
Е/2 означает что найденная сумма была большая.
Конечно же матожидание второго испытания == 1.25Е независимо от филосовских названий исходов.
Но от исхода второго испытания зависит что мы обозначили буквой Е.
Мы не можем выносить суждение о выгодности стратегии выраженное через Е, потому что мы не знаем Е.
Моё объяснение (4):
Пусть игрок открыл один конверт.
Сколькими способами мы можем открыть второй конверт? Одним! Сумма во втором конверте ОДНОЗНАЧНО зависит от выбора первого конверта, просто она не известна игроку и встаёт вопрос надо ли её брать.
Запишем эту ситуацию в терминах условных вероятнойтей:
пусть призы равны К и 2К и игрок нашёл Е. (Е = либо К либо 2К)
тогда
с вероятностью 1 во втором конверте лежит 2Е при условии что Е=К
и
с вероятностью 1 во втором конверте лежит Е/2 при условии что Е=2К
каково матожидание приза при вскрытии второго конверта?
2K*P{E=K} + 2K/2*P{E=2K} = 1.5К
каково матожидание приза при не вскрытии второго конверта?
K*P{Е=K} + 2K*P{E=2K} = 1.5K
UPD:
Просто в тот момент (когда авторы "парадокса" задают вопрос "брать или не брать") они очень незаметно подменяют наблюдателя и помещают его вообще в другое место относительно проводимого эксперимента так (что ставят свершенный факт невидимым).
UPD2:
хорошее и в рамках общепринятой терминологии объяснение от юзера fierstein.livejournal.com в каментах |
|
|