Настроение:	tired
Музыка:	fly pan am - fly pan am

nearly Kaehler geometry
Вот, выложил научную статью

"An intrinsic volume functional on almost complex
6-manifolds and nearly Kaehler geometry"

http://arxiv.org/abs/math.DG/0507179

Оказывается, почти комплексные многообразия в размерности
6 наделены канонической формой объема, которая
определяется следующим образом. Рассмотрим тензор
Ниенхуйса,

N: \Lambda^{0,1}(M)\arrow \Lambda^{2,0}(M).

Это отображение трехмерных расслоений.
Если оно повсюду невырождено, говорится,
что тензор Ниенхуйса невырожден.

Легко видеть, что детерминант N лежит

\Lambda^{3,0}(M)^{\otimes 2} \otimes \Lambda^{0,3}(M)^*

(является сечением квадрата голоморфных детерминантов
на двойственное пространство к антиголоморфным
детерминантам). А следовательно, \det N \otimes \det \bar N -
сечение форм объема, положительное тогда и только тогда,
когда N невырожден. Вот это и есть этот самый
"intrinsic volume".

Задача состоит в том, чтобы найти почти комплексные
структуры (на данном многообразии), где этот
объем минимален. Аналогичные (чуть сложнее
определяемые) функционалы изучал Хитчин,
и они оказались чрезвычайно важны в физике.

Стабилизатор общего тензора Ниенхуйса тривиален,
иначе говоря, многообразие с общим Ниенхуйсом
имеет выделенный базис в касательном пространстве
(во всех точках, где Ниейнхуйс общий). Это не
очень интересно. Интереснее рассмотреть ситуацию,
когда стабилизатор - SU(3), это случается в
точности когда многообразие допускает метрику и
эрмитову связность с тотально антисимметричным
кручением. Конформный класс такой метрики
единственным образом задается почти
комплексной структурой

В этой ситуации минимумы естественного объема есть
"nearly Kaehler manifolds" - почти кэлеровы многообразия.
Это такие специальные эйнштейновы эрмитовы 6-многообразия,
особенно тем замечательные, что у них есть десяток эквивалентных
определений, из всех областей наук. А именно

а. почти кэлеровы многообразия суть такие римановы
многообразия, у которых риманов конус имеет голономию G_2. То есть
если у G_2 многообразия есть коническая особенность,
это конус над NK-многообразием.

б. почти кэлеровы многообразия суть
римановы 6-многообразия, допускающие
киллингов спинор

в. почти кэлеровы многообразия суть эрмитовы многообразия,
удовлетворяющие \nabla_X I(X)=0 для любого векторного
поля X. Или, что то же самое, 3-форма \nabla\omega
кососимметрична по всем аргументам (\nabla связность
Леви-Чивита, \omega эрмитова форма).

г. почти кэлеровы многообразия суть 6-многообразия
со слабой голономией SU(3) (определение слабой голономии
придумал сэр Альфред Грэй в 1960-е, и много лет изучал;
впоследствии оказалось, что оно более-менее сводится
к почти кэлеровым).

д. Это 6-многообразия, на которых задана эрмитова
связность с тотально антисимметричным кручением,
которое параллельно относительно этой связности.

е. Это эрмитовы 6-многообразия, на которых задана эрмитова
связность с тотально антисимметричным кручением,
причем 3-форма d\omega есть вещественная часть $(3,0)$-формы
и имеет постоянную длину (\omega эрмитова форма).

ж. Это эрмитовы 6-многообразия, снабженные (3,0)-формой
постоянной длины \Omega, причем
d\omega = \Re\Omega, d\im\Omega = c \omega^2

Совершенно удивительные штуки.
Примеров, правда, почти нет.

Привет