Настроение:	tired
Музыка:	Podorozhnyj - HAOS-SOYUZ

Hypercomplex manifolds with trivial canonical bundle
Научное тоже
Про новую статью вот
http://arxiv.org/abs/math.DG/0406537
"Hypercomplex manifolds with trivial
canonical bundle and their holonomy"

Главный объект дифференциальной геометрии это
группа голономий. Определять ее можно так - многообразие
со связностью есть многообразие, где вектор можно протащить
параллельным переносом вдоль любого пути, а группа
голономий есть группа, порожденная такими
преобразованиями для всех путей.

Если задано риманово многообразие, на нем есть
естественная связность (Леви-Чивита). По теореме де Рама,
если представление голономий приводимо, то и многообразие
разлагается в произведение, в соответствии с разложением
голономий. Поэтому для римановых многообразий интересны
только неприводимые голономии.

Они все классифицированы Берже - есть список из 10
что ли пунктов (кэлеровы, гиперкэлеровы, Калаби-Яу
и т.д.), которые могут встречаться на неприводимых
несимметрических многообразиях. Это, в принципе говоря,
самый важный результат дифференциальной геометрии
этого столетия (хотя и не очень трудный).

Если же многообразие не риманово, но наделено
связностью без кручения, ситуация гораздо сложнее.
Берже выписал (без доказательства) список возможных
голономий, но он оказался неправильный - в 1990-х
Мерколов нашел в нем ошибки, а потом (вместе с
Шваххофером) построил правильную классификацию.
http://arxiv.org/abs/math.DG/9907206
http://arxiv.org/abs/dg-ga/9508014

Классификация Меркулова-Шваххофера особенно осмысленна
на гиперкомплексных многообразиях, ибо там задана
каноническая связность без кручения, причем
декомпозиция голономии соответствует
гиперкомплексному разложению
самого многообразия.

Неприводимых групп там
(кажется) две: GL(n,H) (все кватернионные
матрицы) и SL(n,H) (сохраняющие объем).
Гиперкомплексные многообразия с голономией в SL(n,H)
имеют тривиальное каноническое расслоение
(это просто видеть из линейной алгебры), но
больше ничего сходу не ясно. Не ясно даже,
верна ли обратная импликация - из тривиальности
кан. класса следует ли голономия в SL(n,H).

Я много лет задавался вопросом о существовании компактных
гиперкомплексных многообразий, не гиперкэлеровых,
с голономией в SL(n,H). Некомпактные примеры
получены Брайантом, давно уже. Пару месяцев назад
у меня наконец получилось кое-чего. Во-первых,
нашлись компактные примеры. Во-вторых, получена такая теорема -
если гиперкомплексное многообразие имеет HKT-метрику
и тривиальный канонический класс, голономия лежит
в SL(n,H). Доказательство, как водится, использует
суперсимметрию на HKT-многообразиях, которую
я придумал года три назад. Очень полезная
оказалась действительно штука.

Такие дела
Миша