Re: Проективное многообразие ...
Нет, конечно.
Когомологии квадрики посчитать весьма просто, потому что
квадрика это однородное пространство
SO(n + 2)/(SO(n) x SO(2)).
Иначе говоря, точка квадрики - это 2-мерная гиперплоскость
в вещественном векторном пространстве. Поэтому над квадрикой
имеется расслоение со слоем S^1 и тотальным пространством
S^n \times S^{n-1}. Написав соответствующую спектральную
последовательность, легко видеть, что когомологии не могут
быть такие же, как у CP^n (трансфер d_2 переводит образующую
H^1(S^1) в кэлеров класс квадрики, таким образом убиваются
все степени кэлерова класса, а n- и n-1-мерный класс
в S^n \times S^{n-1} получаются из еще одного класса
в средних когомологиях квадрики, на котором d_2
действует нулем).

Такие дела
Миша