Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary
Ходил сегодня в ium.mccme.ru
на семинар Натанзона. Выступал Герман Глюк, излагавший
свою работу Cohomology of Harmonic Forms on
Riemannian Manifolds With Boundary, за авторством
Sylvain Cappell, Dennis DeTurck, Herman Gluck,
Edward Y. Miller. Пока я слушал это замечательное
выступление, я сильно (втрое, этак) упростил их
доказательство; изложу здесь мою версию. Оригинал
доказательства, независимо от моих записок, весьма
поучительный, ибо содержит результат Фридрихса -
теорию Ходжа на многообразиях с краем,
которой я не пользуюсь.

Итак, пусть M компактное, риманово многообразие
с гладким краем. Гармонические формы в этой ситуации
не обязательно замкнуты, зато дифференциал де Рама
коммутирует с лапласианом, соответственно, действует
на гармонических формах. Обозначим комплекс
гармонических форм за $(K^*, d)$, а его когомологии
$H^*(K)$.

ТЕОРЕМА 1. Пусть M компактное, риманово многообразие
с непустым краем. Тогда имеет место точная последовательность
\[
0 \arrow H^{p-1}(M) \arrow H^{p}(K) \arrow H^{p}(M) \arrow 0
\]
Иначе говоря, $p$-е когомологии гармонических форм это
прямая сумма $p-1$-х и $p$-х когомологий многообразия.

Утверждение это является по сути правильно понятой
теорией Ходжа на многообразиях с краем; удивительно,
что его доселе не знали, при том, что доказательство
настолько простое.

Доказательство основывается на следующей лемме

ЛЕММА 1: В условиях Теоремы 1, оператор Лапласа сюрьективен
на гладких формах.

Сейчас я выведу Теорему 1 из этой
леммы, а потом докажу и лемму.
Имеем точную последовательность комплексов
\[
0 \arrow (K^*, d)
\arrow (\Lambda^*(M), d)
\stackrel \Delta \arrow (\Lambda^*(M), d) \arrow 0.
\]
Предпоследняя стрелка в этой последовательности -
лапласиан, и она сюрьективна в силу Леммы 1;
вторая стрелка - тавтологическое вложение
гармонических форм в формы. Из нее получается
длинная точная последовательность
\[
H^{p-1}(M) \stackrel \Delta \arrow
H^{p-1}(M) \arrow H^{p}(K) \arrow H^{p}(M) \stackrel \Delta \arrow ...
\]
Чтобы доказать Теорему 1, надо убедиться в том, что
лапласиан $\Delta$ действует нулем на когомологиях.
Пусть $\eta$ замкнутая форма, тогда $\Delta\eta= d d^*\eta$,
эта форма точна. А раз $\Delta$ переводит замкнутые
формы в точные, на когомологиях он действует нулем.
Мы свели Теорему 1 к сюрьективности лапласиана
(Лемме 1).

Доказательство Леммы 1 имеется в статье
http://arxiv.org/abs/math.DG/0508372
(довольно сложное), но сам факт вполне элементарный.
Кообраз оператора Лапласа конечномерный (это
видно, например, если заклеить край многообразия
пленкой). Поэтому для каждого элемента в
кообразе найдется представитель $x$, ортогональный
образу Лапласа. Ортогональность образу Лапласа означает
замкнутость плюс козамкнутость. В частности, такая
форма всегда гармонична. Также, она зануляется
на границе $M$, ибо
\[
(x, dy) = \int_M x \wedge * dy =
\int_{dM} *x \wedge y,
\]
и
\[
(x, *dy) = \int_M x \wedge dy =
\int_{dM} x \wedge y.
\]
Форма, замкнутая, козамкнутая, и зануляющаяся на границе
многообразия, равна нулю. Это видно из следующего соображения.

ЛЕММА 2: Пусть $\eta$ форма, заданная в пересечении
верхней полуплоскости $x_0\geq 0$ и окрестности нуля
на $\R^n$, с произвольной (не обязательно плоской)
метрикой. Пусть $\eta$ замкнута, козамкнута и зануляется на
плоскости $x_0=0$. Тогда $\eta=0$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Продолжим $\eta$ до нечетной (по $x_0$)
формы на окрестности нуля $U$ в $\R^n$. Продолжим метрику
до четной метрики на $U$. Продолженная $\eta$ будет
C^1-гладкой, замкнутой и козамкнутой формой на $U$.
Выбрав область $U$ достаточно маленькой, можно предположить,
что $\eta=d\gamma$, для четной формы $\gamma$ на $U$,
в силу леммы Пуанкаре.
Теперь
\[
\int_U *\eta \wedge \eta =
\int_{dU} *\eta\wedge\gamma + \int_U d(*\eta) \wedge \gamma
\]
Последний член в этом уравнении равен нулю, потому что
$\eta$ коточная, а $\int_{dU} *\eta\wedge\gamma$
равен нулю, если область $U$ выбрана симметричной
относительно $x_0=0$. Из этого следует, что
$(\eta,\eta)=0$. Лемма 2, а с ней и Лемма 1, доказана.

Все!

Привет