Да, $\omega$ - это объединение всех расширений степени
$2^{2^n}$. То есть расширение с группой Галуа, которая
изоморфно аддитивной группе $Z_2$, и естественно вложена
в $\hat Z$. AFAIK.

А $\omega^{\omega^\omega}$ - это алгебраическое
замыкание Z/2Z. Сам ординал $\omega^{\omega^\omega}$
уже трансцендентный, и все ординалы, которые выше,
трансцендентные.

От континуум-гипотезы все эти веши не зависят.

Такие дела
Миша