Да, элиминацией кванторов не получиться. Вопрос с полем определения довольно тонкий и в некотором смысле являеться центральным вопросом в попытках людей "правильно" переформулировать гипотезу Ходжа. Во первых есть старое замечание Делиня, что классы алгебраических циклов всегда абсолютные, а Ходжевые классы вообще могуть оказаться не-абсолютными. Он какое-то время пытался найти не-абсолютный Ходжевый класс на абелевых многообразий, а потом взял и доказал что на абелевых многообразий все Ходжевые классы абсолютные.
Но вообще, скорее всего нужно формулировать гипотезу Ходжа только для абсолютно Ходжевых классов.

Есть еще и целая (недавная) программа Грина с Гриффитсом, о том как доказывать гипотезу Ходжа работая с нормальными функциями и с арифметическими структурами Ходжа. Основная идея состоиться в том что надо рассматрывать когомологии комплексного многообразия, не как векторное пространство, а как локальную систему. Там есть арифметическая связность Гаусса-Манина для $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ и нужно помнить о том как она действуеть. Это даёт интересные инфинитезимальные утверждения
существования. Ещё, это можно связать с гипотезой Бейлинсона об аннулировании и с гипотезой Блоха.


Тони