"Canonical connections for almost-hypercomplex structures"
Очень хорошая статья Годюшона

P. Gauduchon,
"Canonical connections for almost-hypercomplex structures"
Pitman Res. Notes. in Math. Ser., Longman, Harlow, 1997, pp. 123-136.

В электронном виде, кажется, недоступна,
и в другом тоже не очень (я получил ее по
факсу). Вкратце расскажу элементарную часть.

$G$-структуры и кручение

$G$-структура многообразии это редукция
структурной группы $GL(n)$ к $G\subset GL(n)$.
Иначе говоря, $G$-структура это когда в каждом
касательном пространстве $T_xM$ задано точное действие
группы, изоморфной $G$, и гладко зависящей от $x$.
Иначе говоря, $G$-структура это главное $G$-расслоение $Q$,
которое вложено в главное $GL(n)$-расслоение
реперов на $M$.

Пример, который нас здесь интересует - редукция
структурной группы $GL(4n)$ на $4n$-мерном многообразии
к кватернионно-значным матрицам $GL(n, H)$. Задание
такой редукции равносильно заданию действия
алгебры кватернионов на $TM$. Расслоения
с таким действием называются {\bf почти
гиперкомплексными}.

Связность на $M$ согласована с $G$-структурой $Q$, если
она принимает значения в $Lie(Q)\subset End(TM)$.
Для почти гиперкомплексных многообразий это значит,
что связность сохраняет действие кватернионов.

Пространство $A^Q$ совместимых с $Q$ связностей - аффинное
пространство над линейным пространством
$\Lambda^1(M, Lie(Q)$.

Рассмотрим отображение, ставящее в соответствии связности
ее кручение. Это линейное отображение из аффинного
пространства $A^Q$ в линейное пространство $\Lambda^2(TM)$
2-форм с коэффициентами в $TM$. Его линеаризация называется
{\bf отображением алгебраического кручения}, оно бьет
из $\Lambda^1(M, Lie(Q)$ в $\Lambda^2(TM)$ посредством
кососимметризации двух первых аргументов.

Фактор $N_G$ пространства
$\Lambda^2(TM)$ по образу алгебраического кручения
называется {\bf пространством кручения $G$-структур}.
Если $\nabla$ и $\nabla'$ - две связности, совместимые
с данной $G$-структурой, их разность $v$ лежит в
$\Lambda^1(M, Lie(Q)$, и их тензоры кручения
отличаются на $\tau(v)$, где $\tau$ - отображение
алгебраического кручения. Поэтому класс кручения
$\nabla$ в $N_G$ не зависит от выбора $\nabla$.
Этот класс называется {\bf кручением $G$-структуры
$Q$}. В ситуации, когда $G$-структура параллелизуема
(например, редукция $GL(2n)$ к $GL(n, \C)$, заданная
комплексной структурой) кручение, очевидно,
равно нулю.

Кручение почти комплексных структур

{\бф Почти комплексная структура на многообразии}
это редукция структурной группы к $GL(n, \C)$,
иначе говоря, это выбор комплексной структуры
в $T_xM$, гладко зависящий от $x$. Пространство
$\Lambda^1(M, Lie(Q)$ в этой ситуации это
\[ (*)
\Lambda^1(\End(T^{1,0}(M))\oplus
\Lambda^1(\End(T^{0,1}(M))
\]
Рассмотрим пространство $\Lambda^{2,0}(TM)$ форм
$B\in \Lambda^2(TM)$, удовлетворяющих
\[
B(IX,Y) = B(X, IY) = - I B(X,Y).
\]
Нетрудно видеть, что
\[
\Lambda^2(TM)= \Lambda^{2,0}(TM)\oplus \im \tau,
\]
где $\tau$ - отображение алгебраического кручения.
Это ясно, например, по соображениям размерности,
поскольку из (*) ясно, что образ $\tau$ и
$\Lambda^{2,0}(TM)$ не пересекаются.
Класс кручения $GL(n, \C)$ в $\Lambda^{2,0}(TM)$
называется тензором Ниенхуйса, а $\Lambda^{2,0}(TM)$ -
пространство тензоров Ниенхуйса.

Кручение почти гиперкомплексных структур

Отображение алгебраического кручения для
почти гиперкомплексных структур - вложение.
Действительно, пусть $v\in \Lambda^1(\End_H TM)$
1-форма с коэффициентами в $Lie(Q)=\End_H TM$,
которая удовлетворяет $\tau(v)=0$. Тогда
$v$ симметрична по первым двум аргументам,
и удовлетворяет $v(x, L y) = Lv(x,y)$, где
$L=I,J,K$ - любой кватернион. Из этого получаем
\[
v(Ix, Jy) = J v(Ix, y) = J v(y, Ix) = IJ v(x,y).
\]
По той же самой причине, $v(Ix, Jy)= JI v(x,y)$.
Но поскольку $I$ и $J$ антикоммутируют, это может
случиться только если $v=0$. Мы доказали лемму.

ЛЕММА. Пусть $\nabla$ - связность, совместимая
с почти-гиперкомплексной структурой на многообразии.
Тогда $\nabla$ целиком определяется ее кручением.
\endproof

Основной факт про почти гиперкомплексные структуры такой.

ТЕОРЕМА. Пусть $(M, I, J, K)$ - почти гиперкомплексное
многообразие, а
\[
\tau:\; \Lambda^1(\End_H TM)\arrow \Lambda^2(TM)
\]
алгебраическое кручение, определенное выше. Тогда
\[
\Lambda^2(TM) =
\Lambda^{2,0}_I(TM)\oplus
\Lambda^{2,0}_J(TM)\oplus
\Lambda^{2,0}_K(TM)\oplus \im\tau,
\]
где $\Lambda^{2,0}_I(TM)$ - пространство
тензоров Ниенхуйса для почти комплексной структуры $I$.

{\bf Доказательство:} Что $\Lambda^{2,0}_K(TM)$ не пересекают
$\im\tau$, ясно из рассуждения, приведенного выше.
Эти пространства не пересекаются, что ясно
из их определения и попарного антикоммутирования
$I, J, K$. Теперь разложение в прямую сумму
следует из подсчета размерностей, который вполне
очевиден. \endproof

Из этой теоремы и единственности связности
с заданным кручением вытекает следующий замечательный
результат.

ТЕОРЕМА ОБАТЫ.
Пусть $(M,I,J,K)$ - почти гиперкомплексное многообразие,
такое, что почти комплексные структуры $I, J, K$
интегрируемы. Тогда $M$ допускает связность без кручения,
сохраняющую $I, J, K$, и эта связность единственна.
\endproof

Такая связность называется {\бф связность Обаты}.

Привет