Mathematics in Russian
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Wednesday, November 2nd, 2005

    Time Event
    5:09p
    скобка Куранта
    Изучал труд Хитчина
    http://arxiv.org/abs/math.DG/0508618
    и неожиданно понял простую, но важную вещь (у Хитчина
    этого нет, поэтому может статься, что понял неправильно).

    Рассмотрим векторные поля как нечетные дифференцирования
    алгебры дифференциальных форм (операция - подстановка поля в форму).
    Формально говоря (то есть если забыть про гладкости и сходимости),
    векторные поля это в точности дифференцирования алгебры дифференциальных
    форм, понижающие степень на один.

    Рассмотрим теперь тройной суперкоммутатор {X,{Y,d}}
    двух векторных полей и дифференциала де Рама. Легко видеть,
    что это тоже дифференцирование степени -1, то есть векторное
    поле. Это векторное поле называется коммутатор.

    Все труды Хитчина и его учеников по "обобщенной комплексной
    геометрии" (судя по приложениям в физике - весьма важные)
    начинаются с определения "скобки Куранта", задающейся
    непонятной формулой. Поскольку эта формула рациональному
    истолкованию доселе не поддавалась, на этом месте я
    эти труды переставал читать. Оказывается, есть способ
    определить эту скобку на языке супералгебр, после чего
    все становится понятно.

    Пусть дано многообразие размерноости n.
    Рассмотрим расслоение $Т+Т^*$ (касательное плюс кокасательное).
    Это расслоение снабжено естественным скалярным произведением
    сигнатуры (n,-n) (спариванием). Его пространство спиноров - это
    дифференциальные формы. Поэтому можно считать, что $Т+Т^*$
    действует на дифференциальных формах.

    Оказывается, что скобка Куранта тоже задается как {X,{Y,d}},
    где X, Y - сечения $Т+Т^*$, действующие вышеописанным образом
    на дифференциальных формах. Удивительно.

    Привет

    Current Mood: working

    << Previous Day 2005/11/02
    [Calendar]
    Next Day >>

About LJ.Rossia.org