Настроение:

working

скобка Куранта
Изучал труд Хитчина
http://arxiv.org/abs/math.DG/0508618
и неожиданно понял простую, но важную вещь (у Хитчина
этого нет, поэтому может статься, что понял неправильно).

Рассмотрим векторные поля как нечетные дифференцирования
алгебры дифференциальных форм (операция - подстановка поля в форму).
Формально говоря (то есть если забыть про гладкости и сходимости),
векторные поля это в точности дифференцирования алгебры дифференциальных
форм, понижающие степень на один.

Рассмотрим теперь тройной суперкоммутатор {X,{Y,d}}
двух векторных полей и дифференциала де Рама. Легко видеть,
что это тоже дифференцирование степени -1, то есть векторное
поле. Это векторное поле называется коммутатор.

Все труды Хитчина и его учеников по "обобщенной комплексной
геометрии" (судя по приложениям в физике - весьма важные)
начинаются с определения "скобки Куранта", задающейся
непонятной формулой. Поскольку эта формула рациональному
истолкованию доселе не поддавалась, на этом месте я
эти труды переставал читать. Оказывается, есть способ
определить эту скобку на языке супералгебр, после чего
все становится понятно.

Пусть дано многообразие размерноости n.
Рассмотрим расслоение $Т+Т^*$ (касательное плюс кокасательное).
Это расслоение снабжено естественным скалярным произведением
сигнатуры (n,-n) (спариванием). Его пространство спиноров - это
дифференциальные формы. Поэтому можно считать, что $Т+Т^*$
действует на дифференциальных формах.

Оказывается, что скобка Куранта тоже задается как {X,{Y,d}},
где X, Y - сечения $Т+Т^*$, действующие вышеописанным образом
на дифференциальных формах. Удивительно.

Привет