Contact Dehn surgery, symplectic fillings, and Property P Одно из самых замечательных достижений трехмерной
топологии последних лет изложено Гейгесом
вот тут.Доказывается следующее:
ТЕОРЕМА 1. два узла изотопны, если их
дополнения гомеоморфны.
Доказывается это следующим замечательным образом.
Дополнение к узлу имеет границу, диффеоморфную тору.
Есть столько способов доклеить к ней полноторий,
сколько есть диффеоморфизмов из тора в тор.
Результат такого доклеивания называется хирургией
Дэна вдоль узла. Нетривиальная хирургия Дэна -
это когда полноторий приклеили нетривиальным
образом.
Пусть дан узел в трехмерной сфере. Мы говорим, что
он "имеет свойство P", если в результате любой нетривиальной
хирургии Дэна вдоль этого узла получается неодносвязное
многообразие.
Кронхаймер-Мровка доказали следующую удивительную
теорему.
ТЕОРЕМА 2 Каждый нетривиальный узел
в S^3 имеет свойство P.
Теорема 1 следует из Теоремы 2, и это довольно понятно.
Действительно, если узел обладает свойством P, то есть
ровно один спосо б вклеить полноторий в трубчатую
окрестность этого узла, чтоб получилась сфера. Поэтому
каждый гомеоморфизм дополнений к узлам продолжается
однозначно на сами узлы.
Теорема Кронхаймера-Мровки доказывается посредством
контактной геометрии и инвариантов Сайберга-Виттена.
( Read more... )