Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary Ходил сегодня в
ium.mccme.ruна семинар Натанзона. Выступал Герман Глюк, излагавший
свою работу
Cohomology of Harmonic Forms on
Riemannian Manifolds With Boundary, за авторством
Sylvain Cappell, Dennis DeTurck, Herman Gluck,
Edward Y. Miller. Пока я слушал это замечательное
выступление, я сильно (втрое, этак) упростил их
доказательство; изложу здесь мою версию. Оригинал
доказательства, независимо от моих записок,
весьма
поучительный, ибо содержит результат Фридрихса -
теорию Ходжа на многообразиях с краем,
которой я не пользуюсь.
Итак, пусть M компактное, риманово многообразие
с гладким краем. Гармонические формы в этой ситуации
не обязательно замкнуты, зато дифференциал де Рама
коммутирует с лапласианом, соответственно, действует
на гармонических формах. Обозначим комплекс
гармонических форм за $(K^*, d)$, а его когомологии
$H^*(K)$.
ТЕОРЕМА 1. Пусть M компактное, риманово многообразие
с непустым краем. Тогда имеет место точная последовательность
\[
0 \arrow H^{p-1}(M) \arrow H^{p}(K) \arrow H^{p}(M) \arrow 0
\]
Иначе говоря, $p$-е когомологии гармонических форм это
прямая сумма $p-1$-х и $p$-х когомологий многообразия.
Утверждение это является по сути правильно понятой
теорией Ходжа на многообразиях с краем; удивительно,
что его доселе не знали, при том, что доказательство
настолько простое.
Доказательство основывается на следующей лемме
ЛЕММА 1: В условиях Теоремы 1, оператор Лапласа сюрьективен
на гладких формах.
( Read more... )