Доказательство теоремы Скоды-Эль Мира
Доказательство теоремы Скоды-Эль Мира. Будет
полезно, боюсь, только тем, кто интересуется комплексной геометрией.

Теорема: Пусть X комплексное многообразие, E --
плюриполярное множество, $\Theta$ замкнутый
положительный поток на $X\backslash E$, интегрируемый
в окрестности E. Тогда естественное продолжение этого
потока на X замкнуто.

Доказательство (отсюда)

Утверждение локальное по E; будем считать, что X
есть небольшая окрестность заданной точки в E.

Выберем psh-функцию v:\; X \arrow \R, которая равна -\infty в точности на E.
Такая функция существует по определению плюриполярности.

Выберем монотонно неубывающую, выпуклую вниз функцию
$\chi:\; \R \arrow \R$, такую, что $\chi(t)=0$ для $t<-1$,
и $\chi(0)=1$

Выберем сходящуюся к нулю последовательность положительных чисел
$\epsilon_i$.

Функция $\chi(\epsilon_i v)$ плюрисубгармонична, и равна
нулю в окрестности E. Вне E, последовательность функций
$\chi(\epsilon_i v)$ поточечно сходится к 1.

Приблизим $\chi(\epsilon_k v)$ гладкой psh-функцией $v_k$.
Воспользовавшись регуляризованным максимумом, мы можем
всегда добиться, чтобы $v_k$ было равно нулю в окрестности E.

Мы получили последовательность $v_k$ гладких psh-функций,
принимающих значения на отрезке [0,1].
Вне E, эта последовательность сходится к 1, при этом
каждая из $v_k$ в некоторой окрестности E равна нулю.

Для доказательства теоремы Скоды-Эль Мира, осталось
убедиться, что $d'(v_i) \wedge \Theta$ сходится к нулю
($d'$ это то же, что $\partial$, $d''$ - $\bar\partial$).

Будем рассматривать $(n-k, n-k)$-потоки
как функционалы на (k,k)-формах с компактным носителем.
Сначала докажем теорему в предположении, что $\Theta$
есть $(n-1,n-1)$-поток. Выберем функцию $\nu:\; [0,1]\arrow [0.1]$,
гладкую, неубывающую, и принимающую значение 0 на отрезке
[0, 1/3] и 1 на [2/3,1].


Для доказательства зануления
предела
\[
d'(\nu(v_i)) \wedge \Theta=\nu'(v_i) d'(v_i)\wedge \Theta,
\]
нужно убедиться, что
\[
\int_X \nu'(v_i) d'(v_i) \wedge \Theta\wedge \bar\alpha
\]
сходится к нулю для любой (1,0)-формы $\alpha$ (гладкой и с
компактным носителем). Форма
\[
\gamma \arrow \int_X \Theta\wedge \gamma \wedge \bar\gamma
\]
эрмитова и неотрицательно определенная, соответственно,
имеет место неравенство Коши-Буняковского-Шварца:
\[
|\int_X \Theta\wedge \gamma \wedge \bar\delta|^2 \leq
|\int_X \Theta\wedge \gamma \wedge \bar\gamma|
|\int_X \Theta\wedge \delta \wedge \bar\delta|.
\]
Выберем функцию $\psi$, гладкую, неотрицательную,
с компакным носителем, и равную 1 в носителе $\alpha$.
Применив это к $\gamma = \psi d'(v_i), \delta = \nu'(v_i)\alpha$,
получим
\[
|\int_X d'(v_i)\wedge \Theta\wedge \bar\alpha|^2\leq
|\int_X \Theta\wedge|\nu'(v_i)|^2 \alpha\wedge \bar\alpha|
|\int_X \psi\Theta\wedge d'(v_i)\wedge d''(v_i)|.
\]
Сомножитель $|\int_X \Theta\wedge|\nu'(v_i)|^2 \alpha\wedge \bar\alpha|$
сходится к нулю, по теореме Лебега о мажорируемой сходимости.
(формы $\Theta\wedge|\nu'(v_i)|^2 \alpha\wedge \bar\alpha|$
поточечно сходятся к нулю, при этом мажорируются максимумом
$\nu'$ умножить на интегрируемую форму
$\Theta\wedge\alpha\wedge \bar\alpha|$).

Для доказательства Скоды-Эль Мира остается убедиться, что
сомножитель $|\int_X \psi\Theta\wedge d'(v_i)\wedge d''(v_i)|$
универсально ограничен. Имеем
\[
\sqrt{-1} d' d'' (v_i^2) =
2 \sqrt{-1} v_i d' d'' v_i +
2 \sqrt{-1} d' v_i \wedge d'' v_i.
\]
Поскольку $v_i$ плюрисубгармоничны,
поток $2 \sqrt{-1} v_i d' d'' v_i$ положительный.
Из этого следует, что
\[
2 \sqrt{-1} d' v_i \wedge d'' v_i\leq \sqrt{-1} d' d'' (v_i^2).
\]
Это дает нам оценку на
$|\int_X \psi\Theta\wedge d'(v_i)\wedge d''(v_i)|$:
\[
|\int_X \psi\Theta\wedge d'(v_i)\wedge d''(v_i)| \leq
|\int_X \psi\Theta\wedge d'd''(v_i^2)|.
\]
Осталось убедиться, что интеграл $|\int_X \psi\Theta\wedge d'd''(v_i^2)|$
универсально ограничен.
\[
\int_X \psi \Theta\wedge d'd''(v_i^2) =
\int_X v_i^2 d' d''\psi \wedge \Theta
\]
и это ограничивается максимумом $|v_i^2 d' d''\psi|$
умножить на $|\Theta|_{L^1}$.

Мы доказали теорему Скоды-Эль Мира для $(n-1,n-1)$-потоков.
Чтобы доказать, что то же верно для $(n-k,n-k)$-потока $\Theta_1$,
домножим его на всевозможные мономы вида
$\Psi_{i, j,...}:=d'z_i\wedge d''z_i\wedge d'z_j\wedge d''z_j\wedge ...$,
где $z_i$ - голоморфные координаты. Получив $(n-1,n-1)$-поток,
убедимся, что он замкнут. Но из этого следует, что $(2n-1)$-поток
$d\Theta_1\wedge\Psi_{i, j,...}$ нулевой, для любого монома;
из этого сразу же вытекает $d\Theta_1=0$.

* * *

Доказательство не очень трудное, но как они до подобного
догадались, я выдумать не могу. Учиться, учиться и учиться.

Привет