|
|
Пишет Misha Verbitsky (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} tiphareth) в ![[info]](http://lj.rossia.org/img/community.gif){kind=small} ljr_math@ 2007-07-09 00:16:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
А вот это вообще замечательное
http://arxiv.org/abs/0707.0581
Title: Compact Manifolds Covered by a Torus
Authors: Jean-Pierre Demailly, Jun-Muk Hwang, Thomas Peternell
Categories: math.AG
Comments: 8 pages
Let $X$ be a connected compact complex manifold admitting a finite surjective
map $A \to X$ from a complex torus $A.$ We prove that up to finite \'etale
cover, $X$ is a product of projective spaces and a torus.
Для гиперкэлеровых многообразий хорошо известно,
что образ сюрьективного голоморфного отображения
имеет половинную размерность, и гипотетически
изоморфен CP^n (в частности, имеет такие же
когомологии, как CP^n). Аналогичный факт для тора
доказывается на 8 страниц: если гладкое многообразие
является образом комплексного тора (при сюрьективном
голоморфном отображении), это произведение
тора и проективных пространств.
Доказывается это вот как (немного упрощаю оригинал).
1. Пусть f:\; A \arrow X конечное сюрьективное
отображение из тора. Докажем, что X кэлерово.
Оно принадлежит классу C Фуджики, значит, допускает
кэлеров поток T. На торе действует транзитивная
группа автоморфизмов, поэтому каждый кэлеров поток
на торе когомологичен кэлеровой форме (усредним его
по тору, получем неособую положительную форму)
Поэтому класс когомологий поднятия Т на A кэлеров,
значит класс T nef и big на каждом подмногообразии
X. Применяем теорему Демайи-Пауна, получаем,
что класс T кэлеров.
2. Пусть теперь f:\; A \arrow X - любое сюрьективное
отображение. Заметим, что любой псевдоэффективный
дивизор L на X - nef. Действительно, его поднятие
на A псевдоэффективно, следовательно неф (по тому
же самому аргументу), а из этого следует, что
L тоже nef (у каждого сюрьективного отображения
на кривую найдется мультисечение).
Поэтому следующие вещи равносильны:
(i) X - Фано
(ii) -K_X big
(iii) Дивизор ветвления f обилен.
Также, отображение Альбанезе X \arrow Alb(X)
сюрьективно (иначе мы бы имели сюрьекцию из
тора в многообразие общего типа).
3. Докажем, что слои отображения Alb:\; X \arrow Alb(X)
связны и накрываются торами.
Пусть они не связны; рассмотрим факторизацию
Штейна X \arrow Z \arrow Alb(X). Отображение
Z \arrow Alb(X), очевидно, имеет ветвление
(накрытие тора это тор). Но в этом случае
Z многообразие общего типа, куда сюрьективно
отображается тор, а это невозможно. Значит,
слои Alb связны. Прообраз каждого такого слоя
в A есть слой отображения из тора в тор,
а значит он тоже тор. Поэтому слои Alb
связны и накрываются торами.
4. Заменим X на этальное накрытие с максимальным
(среди всех этальных накрытий) b_1. Это этальное
накрытие тоже является сюрьективным образом тора.
Отныне и до конца доказательства мы будем считать,
что X выбрано именно таким.
5. Если X \arrow Y есть сюрьективное голоморфное
отображение кэлеровых многообразий с общим слоем F,
имеем из спектральной последовательности Лерэ
\[
(*) b_1(X) \leq b_1(Y)+ b_1(F)
\]
Если к тому же Y это тор, то (*), после перехода
к этальному накрытию с максимальным b_1(X), превращается
в равенство. Поэтому можно считать, что слои
Alb:\; X \arrow Alb(X) имеют нулевой b_1.
Поскольку это факторы тора, их фундаментальная
группа есть сюрьективный образ \Z^n, а раз
b_1(F)=0, она конечна.
6. Все голоморфные p-формы \omega на X поднимаются
до голоморфных форм на A. Поэтому множество E
ковекторов v, лежащих в образе \omega
при подстановке в нее p-1 векторных
полей, образует подрасслоение \Omega^1(X)
с тривиальным детерминантом. Из этого
следует, что обратный образ E есть
прямое слагаемое в \Omega^1 A. Поэтому
у \Omega^1(X) есть голоморфные сечения.
Значит, у гладкого образа тора с b_1=0 нет
никаких глобальных голоморфных форм.
7. Такой образ всегда алгебраичен.
Действительно, это кэлерово многообразие,
с h^{2,0}=0 в силу вышеизложенного.
8. Антиканонический класс -K_X
равен дивизору ветвления f. Он полуобилен.
Пусть (-K_X)^n=0, где n=\dim X. Слои стандартного
отображения \phi:\; X\arrow P H^0(-K_X) не пересекают дивизора
ветвления f, следовательно, имеют нулевой канонический
класс. Пусть V - прообраз одного из таких слоев в A.
Поскольку A проектируется на \phi(X) со слоем V,
V замкнут в A. Переходя к конечному накрытию A,
получим A= V \times W. При этом \phi(X) есть
сюрьективный образ W. Следовательно, X можно
(после конечного накрытия) изобразить в виде
произведения V и \phi(X). Значит, из (-K_X)^n=0
вытекает, что b_1(X)\neq 0.
9. Из такого же
рассуждения следует, что сюрьективный
образ тора X, после конечного накрытия,
превращается в произведение Alb(X) и слоя
отображения Альбанезе, который есть
согласно шагу 5 сюрьективный образ тора
с b_1(X)=0. Для классификации сюрьективных
образов тора остается изучить случай b_1(X)=0.
9. Из шагов 2 и 8, получаем, что сюрьективный
образ тора с b_1(X)=0 - многообразие Фано.
Он проективен в силу шага 7. Для проективных
многообразий с b_1(X)=0, полученных как сюрьективные
образы тора, классификация следует из работы
Hwang, J. M.; Mok, N.:
Projective manifolds dominated by abelian
varieties. Math. Z. 238 (2001), 89-100
Привет
http://arxiv.org/abs/0707.0581
Title: Compact Manifolds Covered by a Torus
Authors: Jean-Pierre Demailly, Jun-Muk Hwang, Thomas Peternell
Categories: math.AG
Comments: 8 pages
Let $X$ be a connected compact complex manifold admitting a finite surjective
map $A \to X$ from a complex torus $A.$ We prove that up to finite \'etale
cover, $X$ is a product of projective spaces and a torus.
Для гиперкэлеровых многообразий хорошо известно,
что образ сюрьективного голоморфного отображения
имеет половинную размерность, и гипотетически
изоморфен CP^n (в частности, имеет такие же
когомологии, как CP^n). Аналогичный факт для тора
доказывается на 8 страниц: если гладкое многообразие
является образом комплексного тора (при сюрьективном
голоморфном отображении), это произведение
тора и проективных пространств.
Доказывается это вот как (немного упрощаю оригинал).
1. Пусть f:\; A \arrow X конечное сюрьективное
отображение из тора. Докажем, что X кэлерово.
Оно принадлежит классу C Фуджики, значит, допускает
кэлеров поток T. На торе действует транзитивная
группа автоморфизмов, поэтому каждый кэлеров поток
на торе когомологичен кэлеровой форме (усредним его
по тору, получем неособую положительную форму)
Поэтому класс когомологий поднятия Т на A кэлеров,
значит класс T nef и big на каждом подмногообразии
X. Применяем теорему Демайи-Пауна, получаем,
что класс T кэлеров.
2. Пусть теперь f:\; A \arrow X - любое сюрьективное
отображение. Заметим, что любой псевдоэффективный
дивизор L на X - nef. Действительно, его поднятие
на A псевдоэффективно, следовательно неф (по тому
же самому аргументу), а из этого следует, что
L тоже nef (у каждого сюрьективного отображения
на кривую найдется мультисечение).
Поэтому следующие вещи равносильны:
(i) X - Фано
(ii) -K_X big
(iii) Дивизор ветвления f обилен.
Также, отображение Альбанезе X \arrow Alb(X)
сюрьективно (иначе мы бы имели сюрьекцию из
тора в многообразие общего типа).
3. Докажем, что слои отображения Alb:\; X \arrow Alb(X)
связны и накрываются торами.
Пусть они не связны; рассмотрим факторизацию
Штейна X \arrow Z \arrow Alb(X). Отображение
Z \arrow Alb(X), очевидно, имеет ветвление
(накрытие тора это тор). Но в этом случае
Z многообразие общего типа, куда сюрьективно
отображается тор, а это невозможно. Значит,
слои Alb связны. Прообраз каждого такого слоя
в A есть слой отображения из тора в тор,
а значит он тоже тор. Поэтому слои Alb
связны и накрываются торами.
4. Заменим X на этальное накрытие с максимальным
(среди всех этальных накрытий) b_1. Это этальное
накрытие тоже является сюрьективным образом тора.
Отныне и до конца доказательства мы будем считать,
что X выбрано именно таким.
5. Если X \arrow Y есть сюрьективное голоморфное
отображение кэлеровых многообразий с общим слоем F,
имеем из спектральной последовательности Лерэ
\[
(*) b_1(X) \leq b_1(Y)+ b_1(F)
\]
Если к тому же Y это тор, то (*), после перехода
к этальному накрытию с максимальным b_1(X), превращается
в равенство. Поэтому можно считать, что слои
Alb:\; X \arrow Alb(X) имеют нулевой b_1.
Поскольку это факторы тора, их фундаментальная
группа есть сюрьективный образ \Z^n, а раз
b_1(F)=0, она конечна.
6. Все голоморфные p-формы \omega на X поднимаются
до голоморфных форм на A. Поэтому множество E
ковекторов v, лежащих в образе \omega
при подстановке в нее p-1 векторных
полей, образует подрасслоение \Omega^1(X)
с тривиальным детерминантом. Из этого
следует, что обратный образ E есть
прямое слагаемое в \Omega^1 A. Поэтому
у \Omega^1(X) есть голоморфные сечения.
Значит, у гладкого образа тора с b_1=0 нет
никаких глобальных голоморфных форм.
7. Такой образ всегда алгебраичен.
Действительно, это кэлерово многообразие,
с h^{2,0}=0 в силу вышеизложенного.
8. Антиканонический класс -K_X
равен дивизору ветвления f. Он полуобилен.
Пусть (-K_X)^n=0, где n=\dim X. Слои стандартного
отображения \phi:\; X\arrow P H^0(-K_X) не пересекают дивизора
ветвления f, следовательно, имеют нулевой канонический
класс. Пусть V - прообраз одного из таких слоев в A.
Поскольку A проектируется на \phi(X) со слоем V,
V замкнут в A. Переходя к конечному накрытию A,
получим A= V \times W. При этом \phi(X) есть
сюрьективный образ W. Следовательно, X можно
(после конечного накрытия) изобразить в виде
произведения V и \phi(X). Значит, из (-K_X)^n=0
вытекает, что b_1(X)\neq 0.
9. Из такого же
рассуждения следует, что сюрьективный
образ тора X, после конечного накрытия,
превращается в произведение Alb(X) и слоя
отображения Альбанезе, который есть
согласно шагу 5 сюрьективный образ тора
с b_1(X)=0. Для классификации сюрьективных
образов тора остается изучить случай b_1(X)=0.
9. Из шагов 2 и 8, получаем, что сюрьективный
образ тора с b_1(X)=0 - многообразие Фано.
Он проективен в силу шага 7. Для проективных
многообразий с b_1(X)=0, полученных как сюрьективные
образы тора, классификация следует из работы
Hwang, J. M.; Mok, N.:
Projective manifolds dominated by abelian
varieties. Math. Z. 238 (2001), 89-100
Привет
Добавить комментарий:
