LEVEL SETS OF SCALAR WEYL INVARIANTS AND COHOMOGENEITY

Рассказали хорошее.

http://www.dm.unito.it/quadernidipartimento/2005/pdf/q19-05.pdf

Sergio Console, Carlos Olmos
LEVEL SETS OF SCALAR WEYL INVARIANTS AND COHOMOGENEITY

Пусть дано риманово многообразие. Рассмотрим его тензор
кривизны и все его ковариантные производные. Скалярные
инварианты Вейля суть функции, полученные из этих тензоров
взятием следов свертки с римановой метрикой. Известно,
что если все скалярные инварианты Вейля постоянны, то
многообразие локально однородно (изометрии действуют
транзитивно в каждой маленькой окрестности). См.
F. Prufer, F. Tricerri and L.Vanhecke,
Curvature invariants, differential operators and locally
homogeneity, Transactions Amer. Math. Soc. 348
No. 11 (1996), 4643-4652.

Оказывается, что то же верно в большей общности.
Ясно, что изометрии сохраняют все скалярные инварианты
Вейля. Консоле и Олмос доказали, что псевдогруппа (*) изометрий
риманова многообразия действует локально транзитивно на
множествах уровня всех скалярных инвариантов Вейля.

(*) Псевдогруппа потому, что это не группа, а росток
группы в единице. Реально мы получаем результат о
размерности алгебры Ли киллинговых векторных полей
(полей, которые интегрируются до изометрий). А именно,
в каждой точке киллинговы векторные поля порождают
подпространство в касательном пространстве размерности,
равной коразмерности множества уровней всех инвариантов.

Результат чрезвычайно мощный, красивый, и доказывается
весьма просто, по модулю теоремы Прюфера, Тричерри и
Ванхеке.

Привет