ljr_math: теорема Богомолова-Тиана-Тодорова для некэлеровых 3-многообразий

leblon.livejournal.com
2007-11-25 02:00 (ссылка)

А что известно про ниль-многообразия? И какие еще примеры некэлровых 3-многообразий известны, кроме связанных сумм S^3 x S^3?

Дело в том, что я сейчас заканчиваю статейку, где определяется B-модель для некэлеровых комплексных многообразий. В связи с этим, меня интересуют примеры таких многообразий, и их пространства модулей. Виттен нам говорит, что теория деформаций Топологических Теорий Поля (ТТП) должна быть не иметь препятствий, но по-моему это не всегда правда. А вот для каких ТТП это правда - хотелось бы понять.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2007-11-25 06:20 (ссылка)

Про нильмногообразия известно следующее:

1. Есть полная классификация
в комплексной размерности 3
http://arxiv.org/abs/math/9808025
Complex structures on nilpotent Lie algebras
Authors: Simon Salamon

2. Есть аналог Богомолова-Тиана-Тодорова для
абелевых 2-step nilmanifolds (группы Гейзенберга
и аналогов)
http://arxiv.org/abs/math/0402069
Deformation of 2-step Nilmanifolds with Abelian Complex Structures
Authors: C. McLaughlin, H. Pedersen, Y. S. Poon, S. Salamon

3. Вот тут есть большой обзор с большим
количеством ссылок (впрочем, весьма плохой)
http://arxiv.org/abs/0709.0467
Nilmanifolds: complex structures, geometry and deformations
Authors: Sonke Rollenske

4. Довольно скоро я выложу статью (совместно
с Isabel Dotti, Laura Barberis), где доказано,
что у всех нильмногообразий каноническое расслоение
голоморфно тривиально. В теории, это должно было
бы помочь строить деформации; на практике,
кажется, не помогает.

* * *

Что касается примеров некэлеровых 6-многообразий,
то их сколько угодно, ибо любое 4-многообразие
с конформно полуплоской метрикой имеет комплексное
пространство твисторов, некэлерово, если это не
S^4 и не CP^2. При этом, любое 4-многообразие в
связной сумме с -CP^2 несколько раз допускает
такую метрику. А поскольку любая группа может
быть реализована как фунд. группа 4-многообразия,
это доказывает, что существует комплексное 6-многообразие
с любой фундаментальной группой. По контрасту,
фундаментальных групп кэлеровых многообразий
весьма немного, и они очень жестко определяются
кэлеровостью.

В частности, множество классов гомеоморфизма
некэлеровых многообразий неперечислимо, ибо
неперечислимо множество классов изоморфизма групп.
Насчет кэлеровых многообразий, вопрос открытый,
но вполне возможно, что и перечислимо.

Любое нильмногообразие и сольвмногообразие
некэлерово, если это не фактор тора по конечной группе.
Это если нужны конкретные примеры.

Также некэлеровы локально конформно кэлеровы
многообразия, и тут примеров масса (хотя примеров
с нулевым каноническим классом мало). Про это есть
книга,

S. Dragomir and L. Ornea, Locally conformal K{\"a}hler
geometry, Progress in Math. {\bf 155}, Birkh{\"a}user, Boston, Basel, 1998.

* * *

Я получил письмо от Максима Концевича, где рассказывается
следующее (надеюсь, Максим не обидится на меня за
цитирование)

"Esli menja pamjat' ne podvodit, vot contrprimer:
Ljuboe hyperbolicheskoe 3-mernoe mnogoobrazie
X= H^3/Gamma dajet 3-mernoe complexnoe CY,
Y:=PSL(2,C)/Gamma. Y rasslaivaetjsa nad X so sloem S^3 (?ili RP^3).
Teorija deformatsij takih zverej svoditjsa k defromatzijam
Gamma v PSL(2,C), t.e. kogomoligijam v prosoedinennom predstavlenii.
Byl kakoj-to hitryj primer Kapovicha, ja eto uznal iz staroj
statji Ghys-a v Publ.IHES."

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)