K. Oguiso, Picard number of abelian fibered hyperkaehler manifold
Прекрасная статья
http://arxiv.org/abs/0803.1205

Keiji Oguiso,
"Picard number of the generic fiber of
an abelian fibered hyperkaehler manifold"

Пусть M кэлерово, компактное, голоморфно симплектическое
многообразие с H^1=0, H^{2,0}=\C (такие многообразия
называются простыми гиперкэлеровыми), а
\phi:\; M \to X - голоморфное, сюрьективное отображение,
с 0< \dim X <\dim M. Мацушита доказал, что
\dim X = 1/2 \dim M, а \phi - лагранжево слоение,
то есть слои \phi в гладких точках лагранжевы
относительно голоморфной симплектической структуры.

Также известно (и доказано, видимо, тоже Мацушитой),
что X в такой ситуации - многообразие Фано, в частности
алгебраично, а общий слой слой \phi - абелево многообразие.

Локализовав по полю k рациональных функций на X,
можно рассмотреть общий слой \phi как абелево
многообразие над k.

Огисо доказывает, что это абелево многообразие
имеет ранк 1, то есть одномерную группу Нерона-Севери.

Доказательство занимает буквально полстраницы,
и основано на сравнении двух описаний
пространства деформаций пары (голоморфно
симплектическое многообразие M, лагранжев
тор T в нем). Вуазен доказала, что пространство
таких деформаций имеет коразмерность k
в пространстве деформаций M, где k есть
размерность образа отображения ограничения
H^2(M) \to H^2(T). Мацушита доказал, что любая
деформация M, в которой класс поляризации X
остается рациональным, тоже задает лагранжево
слоение, соответственно, в этой ситуации k=1.

Мы получаем, что образ H^2(M) \to H^2(T)
для любого слоя T=\phi^{-1}(x) одномерный.
Пусть L_1, L_2 - элементы относительной группы
Пикара M_U/U, где U - открытое подмножество
в X, а $M_u= \phi^{-1}(U)$. Поскольку
L_1 и L_2 пропорциональны (с постоянным
рациональным коэффициентом, который можно
считать единицей, возведя L_1 и L_2 в подходящую
степень) на каждом слое \phi, их разность
тривиальна на общем слое. Поэтому
L_1 - L_2 = \phi^* L, где L - расслоение
на U. Но это значит, что L_1 и L_2
представляют один и тот же элемент
в группе Нерона-Севери общего слоя \phi.

Привет