Друзья,
наш с Кампаной труд завершен и лежит на сети.

http://www.arxiv.org/math.AG/0510299

К сожалению, он по-французски! Но иначе пришлось
бы ругаться с Кампаной дольше, чем продолжалась
собственно работа; я один раз попробовала, и это
было ужасно. Хорошо хоть, Кампана вроде как говорил
"четные - по-французски, нечетные - по-английски";
так что если вдруг будет еще один труд ...
Я выложу куда-нибудь краткое содержание по-английски.
По-русски ничего формального писать уже сил нет.
Вот, попробую сказать пару слов прямо здесь:




Зададимся следующим вопросом: какие бывают многообразия
(гладкие проективные комплексные)
с эндоморфизмом степени >1? Если требовать, чтоб эндоморфизм
был регулярным, то почти никаких. То есть, бывают, конечно,
торические многообразия, торы, их произведения, их факторы
по конечной свободно действующей подгруппе; но кроме них мало
что бывает; я об этом даже написала пару статей.

Разумнее требовать рациональных (мероморфных) эндоморфизмов.
Тем более, что потенциально их тоже можно было бы
использовать для размножения рациональных точек, доказательства
зануления метрики Кобаяши и т.д.. Но очень трудно понять -
когда бывают, когда нет. А когда бывают, то иногда они
не очень интересные. Например, у эллиптических поверхностей
над кривой рода >1, конечно, бывают; но сохраняют эллиптич.
расслоение. Так что как бы происходят с эллпитич. кривых.
А у общей К3 вообще непонятно, бывают или нет!

А Клэр Вуазе недавно заметила, что бывают у многообразия
прямых на гладкой кубике в P^5. Вот почему: оказывается,
для общей прямой l существует единственная плоскость, касательная
к кубике вдоль этой прямой. Остаточное пересечение - тоже
прямая l'. Вот и сопоставим l l'.

Чем замечателен этот пример:
такие многообразия - с тривиальным канклассом, и даже
симплектические (доказали Бовилль и Донаги). А у общего
Пикар циклический. Так что можно надеяться, что оно не
расслаивается, даже бирационально, на что-нибудь, у чего
могут быть эндоморфизмы.

Это наша первая теорема (2.1). Доказываем, что многообразие
с тривиальным канклассом и циклическим Пикаром не перестраивается
бирационально в расслоение на многообразия необщего типа.

Потом изучаем такие мероморфные расслоения на симплектических
мн-зиях. Естественно, на многообразия необщего типа -
иначе любой пучок даст мероморфное расслоение. А это
сводится к расслоениям на многообразия нулевой размерности
Кодаиры. Доказываем, что в размерности 4 ситуация полностью
аналогична Мацушите (слои - бирац. двумерные лагранжевы торы,
база - рац. поверхность, и вообще после флопа все это имеет
голоморфную модель. 3.5, 3.6). В высшей размерности не хватает теории
минимальных моделей, увы.

Потом показываем, что либо у эндоморфизма общие итерированные
орбиты плотные по Зарискому, либо он сохраняет
мероморфное расслоение (4.1).
К сожалению, д-во не проходит над числовым полем, по
причине счетности оного (у нас "общий" значит "в дополнении
к счетному объединению собств. замкнутых подмн-в...)
А то была бы potential density!
Над этим вообще надо бы подумать. Может, кто со мной?..

Ну и еще что-то доказываем, рука бойца метать устала...