аменабельность группы Z

Занятное обсуждение на mathoverflow.

Аменабельная группа есть группа, на которой есть
ненулевая мера, принимающая конечные значения
на всех подмножествах, и инвариантная относительно
(правого) действия группы на себе.

Коллеги обсуждают, как такую меру проще всего
построить на абелевой группе (например, Z).
В оновном, предлагают множества Фелнера с
ультрафильтрами.

Вот тут доказательство, кстати.

Читая про это же у Тао, придумал простой аргумент.

Пусть $l^\infty$ - пространство ограниченных функций на Z.
Нам нужен инвариантный функционал на $l^\infty$, принимающий
неотрицательные значения на характеристических функциях
подмножеств Z. "Инвариантность" значит, что функционал
зануляется на подпространстве I, порожденном функциями
вида $f(z) - f(z-g)$.

Хочется применить теорему Хана-Банаха, то есть
взять функционал, зануляющийся на I, и продолжить
его на все $l^\infty$ таким образом, чтоб он
был положительный на характеристических функциях.
Проблема в том, что в I содержатся характеристические
функции конечных множеств вида $f(z) - f(z-g)$,
где f - характеристическая функция отрезка
$[n, \infty[$. Профакторизуем по ним, то есть
рассмотрим факторпространство $l^\infty/L$,
где L - пространство функций с конечным
носителем, и в нем открытый конус A, порожденный
характеристическими функциями с бесконечными
носителями. Тогда A не пересекается с I,
соответственно, найдется ненулевой функционал,
который неотрицателен на A, и зануляется
на I, то есть инвариантен.

Аргумент простой, но сбивает с толку, ибо
не видит дикой неконструктивности полученной
меры, которая наглядна в стандартном доказательстве
с ультрафильтрами.

Привет