доказательство существования потока Альфорса
Запишу-ка я это, пока не потерялось.

Поток Альфорса определяется как поток интегрирования
вдоль C, голоморфно вложенного в эрмитово многообразие,
а если немного точнее, то следующим образом.

Пусть $\phi:\; \C \arrow M$ голоморфное отображение
$D_r$ -- образ диска радиуса $r$, а $A(r)$ его объем.
Поток Альфорса, спаренный с 2-формой $\alpha$,
дает $A(r)^{-1} \lim_r \int_{D_r} \alpha$. Такой предел
(в смысле потоков) всегда существует, но не единственный.
Оказывается, если $d\phi|\leq 1$, то
можно выбрать последовательность
$r_i \arrow \infty$ такую, что
\[ \alpha \arrow A(r_i)^{-1}\lim_{r_i} \int_{D_{r_i}} \alpha
\]
определяет замкнутый поток; вот этот-то поток и
называется потоком Альфорса.

Осталось доказать, что такая последовательность
всегда существует. Если $A(r)$ ограничено,
замыкание $\im \phi$ - голоморфная кривая
по теореме Бишопа, и доказывать нечего, поэтому
можно считать, что $A(r)$ стремится к бесконечности.

В этот момент, голоморфность
$\phi$ перестает играть какую-либо роль, и используется
только то, что $\phi$ конформно. Обозначим за $f$
функцию $f(x) = |d\phi|(x)$. Тогда площадь диска
записывается как $A(r) = \int_{D_r} f^2$, а периметр
его границы как $l(r) =\int_{\partial D_r} f$ (с этого места,
все интегралы берутся по мере Лебега в $\C$).
Если таких $r_i$ не существует, получаем
$l(r)/A(r) >C$ для какой-то константы $C>0$.
Замечу, что $\int_{\partial D_r} f^2= A'(r)$.
Неравенство Коши-Шварца дает
\[ l(r)^2 \leq r \int_{\partial D_r} f^2= r A'(r).\]
Поэтому $l(r)/A(r) >C$ влечет
$r A'(r) \geq A(r)^2 C$. Осталось доказать, что
это несовместимо с условием $A'(r)\leq 2 \pi r$, которое
следует из $|f|\leq 1$.

Имеем
\[ (\frac 1 {-A(r)} )'= \frac{A'(r)}{A^2(r)} \geq \frac{2\pi C}{r}
\]
что дает после интегрирования обеих частей
\[
-\frac 1 {A(r)} > 2\pi C\log(r) - C_1
\]
что невозможно, потому что $A(r)$ стремится к бесконечности.

Доказательство в литературе
(более-менее единственно доступное:
J. Noguchi, J. Winkelmann, Nevanlinna Theory in Several Complex Variables)
длинее вдесятеро, и тотально невразумительное,
так что надо это не потерять, а куда-нибудь вставить.
Если я не проврался где-то, конечно.

Привет