Groups of small homological dimension and the Atiyah Conjecture
Замечательная статья

http://arxiv.org/abs/math/0401312
Groups of small homological dimension and the Atiyah Conjecture
Authors: Peter Kropholler, Peter Linnell, Wolfgang Lueck

Групповая алгебра фон Ноймана N(G) дискретной группы G
есть замыкание групповой алгебры \C G, действуюшей в
пространстве L^2-интегрируемых функций на группе.
Поскольку \C G это групповая алгебра G,
на N(G) задана мультипликативная структура.
Еще можно определить N(G) как алгебру ограниченных
G-эквивариантных эндоморфизмов L^2(G).

Про алгебры фон Ноймана в применении к дискретным
группам подробно написано вот тут:
http://arxiv.org/abs/dg-ga/9707011

Стандартный след на такой алгебре
переводит $a\in N(G)$ в $(a(e), e)$, где
$e\in L^2(G)$ это дельта-функция в 1.
Его можно естественным образом продолжить
до следа на квадратных N(G)-матрицах.

Пусть над такой алгеброй задан конечно-порожденный
проективный модуль P. Рассмотрим его как подмодуль
в $N(G)^n$. Размерность P есть след
от оператора проекции в $N(G)^n\arrow P$.
Это вещественное число от нуля до бесконечности.
Размерность произвольного модуля определяется
как супремум размерности всех проективных
подмодулей. Довольно понятно, что размерность
хорошо определена и ведет себя правильно
при взятии факторов и прямых сумм.

Гипотеза Атьи утверждает следующее.
Пусть задано кольцо A, промежуточное
между \Z и \C, и пусть d - число, такое,
что порядок каждой конечной подгруппы
G'\subset G делит d. Тогда для каждого
конечно-порожденного, конечно-представленного
AG-модуля М, размерность $N(G) \otimes_{AG} M$
рациональна и лежит в $(1/d) \Z$. Это утверждение
называется {\bf гипотезой Атьи для $(G, d, A)$}

Про гипотезу Атьи чуть подробнее написано вот тут:
http://arxiv.org/abs/math.GT/0310489

Для A=\Q, гипотеза Атьи есть утверждение
о L^2-числах Бетти. А именно, имеет место
эквивалентность таких утверждений

(1) гипотеза Атьи для $(G, d, \Q)$

(2) Пусть G свободно и ко-компактно
действует на римановом многообразии.
Тогда L^2-числа Бетти (которые есть
фон-нойманновская размерность пространства
гармонических i-форм) рациональны
и лежит в $(1/d) \Z$.

Из гипотезы Атьи следует много интересных
групповых утверждений, например следующая
гипотеза Капланского

гипотеза Капланского Пусть
F поле, а G - группа без кручения. Тогда
групповая алгебра FG не имеет делителей нуля.

Оказывается, гипотеза Капланского следует из
гипотезы Атьи для $(G, 1, F)$. Это довольно просто
видеть: пусть в FG есть делитель нуля v, он действует
на N(G), причем ядро и образ этого действия
проективны. Из аддитивности размерности следует,
что либо \ker v, либо \im v имеют
размерность меньше 1. По гипотезе Атьи,
размерность целочисленна, то есть
либо \ker v, либо \im v нульмерны.
Проективный нульмерный модуль тривиален.
Это доказывает гипотезу Капланского.

Гипотезу Атьи можно доказать, например,
для элементарных аменабелевых групп, то есть
групп, полученных из конечных групп и абелевых
групп естественными групповыми операциями
(взятием фактора, расширения, подгруппы
и так далее).

Пусть дана дискретная группа G. Говорится, что
она (ко-)гомологической размерности 1, если вторые
(и выше) (ко-)гомологии любого целочисленного G-модуля
зануляются. Группа "локально свободна", если любая
ее конечно-порожденная подгруппа свободна.

Кнопхоллер, Линнелл и Люк доказывают следующий
удивительный результат. Пусть задана группа
G гомологической размерности 1, и пусть
для G верна гипотеза Атьи. Тогда G
локально свободна.

Доказывается это так.

Пусть задана группа G гомологической размерности
1, а H - конечно порожденная подгруппа.
Нетрудно усмотреть, что гомологическая размерность H
не больше 1, а когомологическая размерность H
не больше 2. Поэтому у нас есть точная
последовательность \Z H-модулей

0 -> P -> \Z H^s -> \Z H -> \Z -> 0

Умножая это дело тензорно на N(H) и используя
зануление Tor^2 (гомологическая размерность равна 1),
мы получаем вложение из P\otimes N(H)
в \Z H^s\otimes N(H)= N(H)^s. Из этого
следует, что \dim P\leq s (под \dim
тут понимается фон-нойманновская размерность
P\otimes N(H)).

Используя гипотезу
Атьи для G, можно доказать, что любой проективный
AG-модуль, имеющий конечную размерность в смысле
фон Ноймана, конечно порожден. Используя
гипотезу Атьи для H, получаем из этого,
что P конечно порожден, и H конечно
представлена. Конечнопредставленный
плоский модуль проективен, из чего
следует, что когомологическая размерность
для H совпадает с гомологической (это можно
видеть и непосредственно из условий конечности
на CW-комплекс, задающий классифицирующее
пространство). Конечнопорожденная группа
когомологической размерности 1 свободна.
Это доказывает локальную свободность G.

* * *

Очень приятно, когда понятие, изначально придуманное
для совершенно других целей (фон Нойман изобрел
алгебры фон Ноймана для обоснования квантовой
механики) оказываются полезны в совершенно
посторонних областях математики. Внушает надежду
на то, что эти штуки на самом деле существуют,
поэтому везде и появляются, а мы занимаемся
не дурацкими закорючками, а реально существующими
вещами. То есть разговариваем не сами с собой,
а с мирозданием.

Привет