The 3x+1 problem: An annotated bibliography
Смешная задача, впервые опубликованная Мартином
Гарднером (1972), и, оказывается, до сих пор нерешенная.

Задана функция T на целых числах;
T(n) = (3n+1)/2 для нечетного n, T(n) = n/2 для четного.

Гипотеза (3x+1 conjecture):
начиная с любого целого положительного числа
и применяя T много раз, мы рано или поздно придем к 1.

Еще называется "Collatz problem" и "Hasse's
Syracuse-Problem". Коллатц ее придумал
в 1928 году, и она существовала 45 лет
в виде фольклорной, а Хассе первым опубликовал
ее в математическом тексте (1975).

Вычислительная проверка этой гипотезы осуществлена
для всех чисел вплоть до 372 * 2^{50}.

Вот тут есть подробная библиография работ
по этой задаче и связанных вопросов:

http://arxiv.org/abs/math/0309224
The 3x+1 problem: An annotated bibliography
Authors: Jeffrey C. Lagarias

Среди всякого смешного, доказано, что
целые числа вида 2^m * k - 1 переводятся итерациями T
в 3^m*k - 1, числа вида 2^{3m}* k - 5 в 3^{2m} k - 5,
и числа вида 2^{11m} * k - 17 в 3^{7m}* k - 17.

Также доказано, что нетривиальный цикл в итерациях T
имеет период вида 301994A + 17087915B + 85137581C,
где A, B, C положительные целые, B>0, а A или C
равны нулю.

И так далее. 59 страниц. Я сломался на 34-й.
Но текст, конечно, занимательный донельзя, и
фундаментально полезный для желающего заняться
чем-то похожим.

* * *

В нормальной математике подобной полезности статьи
появляются чрезвычайно редко. Вот замечательное от Ливиу Орнеа:
[ 1 | 2 ]

Ну и конечно же вот это -
http://arxiv.org/abs/math.DG/9908015
Geometry of Hyper-Kahler Connections with Torsion
Authors: Gueo Grantcharov, Yat Sun Poon

фантастически полезная статья, даже и сегодня.

Привет