доказательство леммы Пуанкаре
На дифференциальных формах, как известно,
действует дифференциал де Рама,
\[
d:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M).
\]
Изобрел его не де Рам, а Эли Картан.

Замкнутая форма есть форма,
лежащая в его ядре, точная - лежащая в его образе.
Поскольку d^2=0, любая точная форма замкнута.

Основой всей топологии является
известная "лемма Пуанкаре" - любая замкнутая
i-форма, i>0, на шаре точна.

Проще всего доказать ее так.
Пусть задано векторное
поле r. Рассмотрим оператор подстановки
r в дифференциальную форму:
\[
i_r:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i-1}(M).
\]
На формах также задана "производная Ли вдоль
векторного поля",
\[
\Lie_r:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i}(M).
\]
Проще всего определить ее так:
проинтегрируем r до однопараметрического
семейства диффеоморфизмов D_t, тогда производная
Ли есть производная от действия D^*_t на формах:
\[
\Lie_r(\eta) = d/dt(D^*_t\eta), t=0.
\]
Имеет место следующее тождество, придуманное,
видимо, тоже Картаном:
\[
\{ d, i_r\} = \Lie_r
\]
Здесь $\{ . , . \}$ обозначает суперкоммутатор,
антикоммутатор в данном случае.

Довольно ясно, что i_r и d коммутирует с $\Lie_r$
Если бы оператор $\Lie_r$ был обратим, для каждой
замкнутой формы \eta мы б имели
\[
d i_r \Lie_r^{-1}\eta = \eta
\]
что давало бы сразу лемму Пуанкаре.
В частности, любая замкнутая форма,
лежащая в образе \Lie_r, точна.

Чтобы доказать лемму Пуанкаре, нам нужно найти
векторное поле r, такое, что образ \Lie_r - все i-формы,
i>0. Сделать это нетрудно.

Рассмотрим "радиальное векторное поле", заданное
как $r=\sum x_i d/d x_i$. Соответствующий поток
диффеоморфизмов - гомотетии.

Оказывается, на шаре \Lie_r является наложением;
это и доказывает лемму Пуанкаре. Проще всего это
увидеть на вещественно-аналитических формах.
Запишем n-форму в виде абсолютно сходящегося
ряда Тэйлора,
\[
\eta = \sum \lambda_i f_i (*)
\]
где f_i - однородные полиномы степени i, а
$\lambda_i$ - внешнее произведение координатных
1-форм. Легко видеть, что
\[
\Lie_r\eta = \sum (n+i) \lambda_i f_i
\]
а значит,
\[
\Lie_r(\sum (n+i)^{-1} \lambda_i f_i) =\eta.
\]
В силу абсолютной сходимости ряда (*),
эта сумма тоже абсолютно сходится.

На практике нам нужны, конечно, не
вещественно-аналитические формы, а гладкие
(даже 1-гладкие), поэтому доказательство
придется чуть усложнить.

Подмножество U\subset R^n называется звездчатым с
центром в 0\in U, если для любого y\in U,
отрезок [0,y] целиком лежит в U. Ясно, что
шар (и вообще любое выпуклое множество, содержащее 0)
звездчато. Оператор Lie_r обратим на формах на
звездчатом множестве, что видно из следующего.

Рассмотрим соответствующий поток диффеоморфизмов
(гомотетий) D_t. Поскольку U звездчатое, D_t отображает
U в U для t\leq 1. Напишем оператор
\[
V(\eta) = \int_0^1 1/t D_t^*(\eta) dt.
\]
Из формулы Ньютона-Лейбница немедленно вытекает, что
$\Lie_r(V(\eta))=\eta$.

Это, кажется, самое простое доказательство
леммы Пуанкаре. В учебнике Лорана Шварца доказательство
леммы Пуанкаре индуктивное, и занимает страниц 10.

Аналогом леммы Пуанкаре в алгебраической геометрии
является не менее фундаментальное утверждение,
так называемая dd^c-лемма. На комплексном
многообразии, помимо оператора де Рама,
задан оператор $d^c:= - I d I$, полученный
из де Рама подкруткой на комплексную структуру.
Он коммутирует с d (условие интегрируемости
комплексной структуры как раз и записывается
как коммутирование d и d^c).

Локальная dd^c лемма звучит так: на
выпуклом подможестве \C^n, каждая d, d^c- замкнутая
(p,q)-форма \eta, p,q>0, лежит в образе dd^c.

Было бы интересно иметь такое же простое
доказательство dd^c-леммы.

У всего этого есть кватернионные аналоги:
на гиперкэлеровом или гиперкомплексном
многообразии у нас есть целых 4 коммутирующих
дифференциала, d, d_I, d_J, d_K, полученные
подкруткой d на кватернионы I, J, K. Взяв три
из этих дифференциалов, или все четыре,
можно задаться таким же вопросом: пусть
дана форма, замкнутая относительно данного
набора дифференциалов, и точная относительно
одного из них; будет ли она точна
относительно их произведения? Возможно,
понадобятся какие-то ограничения на тип формы;
скажем, потребуется, чтоб она была типа
(p, q), p, q> 0 относительно любой из
комплексных структур, индуцированных
кватернионами. На компактном гиперкэлеровом
многообразии такую "d d_I d_J d_K-лемму"
нетрудно доказать.

Привет