В наивном определении p-адические числа пишутся бесконечной влево последовательностью, чтобы их можно было складывать и умножать "в столбик" в точности по алгоритму, изучаемому в начальной школе. Более "научное" определение дано в конце листка через проективные пределы (задача 14).

Про корни: p-адические числа хороши тем, что в них существует алгоритм решения полиномиальных уравнений - Лемма Гензеля (задача 8). Задача 4c - просто подготовка к этому утверждению

И я подозреваю, что бесконечными вправо последовательностями записываются бесконечные p-ичные дроби, составляющие модель вещественных чисел.

Зачем нужны вещественные числа, я надеюсь, можно не обсуждать - все точные науки нового и новейшего времени их используют в свеой основе.

p-адические числа применяются как для решения разных математических задач (например, классификации билинейных форм над Q - я об этом вкратце скажу завтра), так и для определения ряда объектов, расходящихся в обычных числах, в частности, есть идея определять таким способом континуальные интегралы.

Как я уже говорил, есть теорема Островского, классифицирующая нормы на поле рациональных числел. Пополнение по тюбой такой норме будет изоморфно либо Q, либо R, либо полю рациональных p-адических чисел для некоторого p

> зачем нужны оба класса чисел?
Есть криптографические системы на эллиптических кривых над p-адическими числами. Один знакомый в диссертации предлагал алгоритм факторизации полиномов нескольких переменных над R с помощью многочисленных переходов к другим полям коэффициентов, в частности, там был переход в Q_p. Этот алгоритм у него был в качестве части конструкции декодера каких-то классов алгебро-геометрических (помехоустойчивых) кодов.

если по какой-то причине вы ещё не в курсе, то видеозаписи лекций можно скопировать на флешку в соответствующей аудитории.