Мера такая хорошая есть на круге, $(R_0^2 - r^2)^{-1/2}$. В этой мере площадь фигуры, отсекаемой полосой ширины d равна $\pi R_0 d$, при условии, что оба края полосы пересекают круг. Полная мера круга будет $2 \pi R_0^2$, и если суммарная ширина полос меньше $2 R_0$, то мера покрытой области будет меньше.

Конечно, эта мера - всего лишь площадь элемента поверхности сферы, в проекции на плоскость, потому и задачка по стереометрии. А вот интересно, есть ли подобная мера для других фигур?

Xoroshij vopros. Zhalko, ja v nepreryvnom slab...

...Nu, vypuklaja obolochka dolzhna byt' postojannoj shiriny...

A dlja kruga eta mera - odna takaja?

Про эту меру просто понять, если знать что такое filtered backprojection в компьютерной томографии. Задача такая - воспроизвести функцию в выпуклой односвязной области на плоскости, про которую известно, что преобразование Радона от нее дает постоянную функцию (внутри носителя, конечно). Преобразование Радона обращается, и остается единственный вопрос - получится ли при этом знакоопределенный результат? Собственно, знакоопределенность очевидна из filtered backprojection - при фитрации из одномерной постоянной функции на интервале (-1, 1) получается 1/(1-x^2) - то есть знакоопределенная функция на том же интервале, а знакоопределенность сохраняется при backprojection. Так что для односвязных выпуклых фигур постоянной ширины ответ положительный.

Pasiba, vse ochen' ponjatno. (Prishlos' slazit' v guglo za opredelenijami.)
A chto vypuklost' (sledovatel'no, i odnosvjaznost') neobxodima - teper' legko ponjatno. Esli dlja vypukloj obolochki (kotoraja postojannoj shiriny) takaja mera edinstvenna, i ni v kakoj oblasti nulju tozhdestvenno ne ravna, to nichego iz nee nel'zja vykinut' (inache my b nashli vtoruju meru na nej zhe, tozhdestvenno nulevuju na vykinutyx kusochkax).

Xe-xe:)

... Znachit, my znaem, chto krasnyj krug mozhno zamenit' v zadachke na krasnyj vypuklyj krivolinejnyj treugol'nik, ogranichennyj tremja 60-gradusnymi dugami radiusa metr.

A vot est' li v etom variante olimpiadnoe reshenie?..

Задачка несколько о другом, но условие звучит похоже:

На клетчатую бумагу с размером клетки 1см посадили несколько клякс суммарной площадью меньше одного квадратного сантиметра. Доказать, что хотя бы один узел решетки не будет закрыт кляксой.

Posle "Dokazat', chto..." sleduet chitat':
"mozhno tak sdvinut' kletki parallel'nym perenosom, chto ni odin uzel ne budet zakryt kljaksoj."

Da, mne ona tozhe vspomnilas'.

Ну да, конечно же. Совсем память как у верблюда стала..