Xoroshij vopros. Zhalko, ja v nepreryvnom slab...

...Nu, vypuklaja obolochka dolzhna byt' postojannoj shiriny...

A dlja kruga eta mera - odna takaja?

Про эту меру просто понять, если знать что такое filtered backprojection в компьютерной томографии. Задача такая - воспроизвести функцию в выпуклой односвязной области на плоскости, про которую известно, что преобразование Радона от нее дает постоянную функцию (внутри носителя, конечно). Преобразование Радона обращается, и остается единственный вопрос - получится ли при этом знакоопределенный результат? Собственно, знакоопределенность очевидна из filtered backprojection - при фитрации из одномерной постоянной функции на интервале (-1, 1) получается 1/(1-x^2) - то есть знакоопределенная функция на том же интервале, а знакоопределенность сохраняется при backprojection. Так что для односвязных выпуклых фигур постоянной ширины ответ положительный.

Pasiba, vse ochen' ponjatno. (Prishlos' slazit' v guglo za opredelenijami.)
A chto vypuklost' (sledovatel'no, i odnosvjaznost') neobxodima - teper' legko ponjatno. Esli dlja vypukloj obolochki (kotoraja postojannoj shiriny) takaja mera edinstvenna, i ni v kakoj oblasti nulju tozhdestvenno ne ravna, to nichego iz nee nel'zja vykinut' (inache my b nashli vtoruju meru na nej zhe, tozhdestvenno nulevuju na vykinutyx kusochkax).

Xe-xe:)

... Znachit, my znaem, chto krasnyj krug mozhno zamenit' v zadachke na krasnyj vypuklyj krivolinejnyj treugol'nik, ogranichennyj tremja 60-gradusnymi dugami radiusa metr.

A vot est' li v etom variante olimpiadnoe reshenie?..