Некоммутативные стеки К.-Р.
Долго думал, как определить двусторонний производный функтор функтора "глобальных сечений тензорного произведения" квазикогерентных пучков на некоммутативных стеках ("finite covers") Концевича-Розенберга (он же -- функтор котензорного произведения комодулей над коалгеброй над некоммутативным кольцом) так, чтобы ответ был инвариантен относительно утончений ("refinements of covers"). В результате уперся в следующий парадокс. Рассмотрим конечномерную фробениусову алгебру F над полем k. Это как бы такая некоммутативная аффинная схема. Имеется естественное вложение F в алгебру матриц End(F), проистекающее из левых действий F на себе. Как F-F-бимодуль, End(F) изоморфна F\otimes F^*, то есть является свободным левым F-модулем и свободным правым F-модулем. Значит, это такой строго плоский с обеих сторон морфизм. Поэтому можно сделать утончение покрытия и заменить F на коалгебру End(F)\otimes_F End(F) над алгеброй End(F). Причем это будет даже утончение пространственных покрытий ("space covers"). Если добавить к утончениям эквивалентности Мориты, то можно и вовсе заменить коалгебру End(F)\otimes_F End(F) над End(F) на коалгебру F^* над k. Это будет такой некоммутативный стек -- факторпространство точки по коалгебре. Так или иначе, кольца End(F) и k полупросты и функторы тензорного произведения над ними точны, так что естественно было бы ожидать, что производный функтор глобальных сечений тензорного произведения пучков над стеками, соответствующими коалгебрам End(F)\otimes_F End(F) и F^*, живет в положительных когомологических размерностях. Ну а глобальное сечение тензорного произведения пучков над некоммутативной аффинной схемой, связанной с кольцом F, есть просто тензорное произведение F-модулей, так что, опять же, естественно было бы ожидать, что производный функтор живет в отрицательных когомологических размерностях. Попросту, Cotor над F^* и Tor над F суть два довольно разных когомологических функтора, хотя категории F-модулей и F^*-комодулей, конечно, эквивалентны. Но для теории покрытий и их плоских утончений это две эквивалентные ситуации. Противоречие. При этом, конечно, в случае коалгебры над некоммутативным кольцом конечной гомологической размерности никаких проблем не возникает, и можно определить двусторонний производный функтор котензорного произведения (и он будет инвариантен относительно утончений). В общем случае, наверно, нужно сузить класс рассматриваемых утончений до каких-нибудь гладких... но как определять производный функтор котензорного произведения, все равно неизвестно -- см.