Полуварианты представления локально компактной вполне несвязной группы
Пусть G — топологическая группа, H — проконечная открытая подгруппа в G, и M — гладкий G-модуль (т.е., стабилизатор каждого элемента M открыт в G). Тогда (G,H)-полуварианты M определяются как коядро некоторого отображения (Ind_G,HM)^H → M^H, где слева стоят Н-инварианты G-модуля, индуцированного с M как H-модуля. Отображение это является разностью двух: одно получается переходом к H-инвариантам в очевидном отображении G-действия m⋅g→m^g; другое зависит только от структуры H-модуля на M. Определяется это второе отображение следующей ужасной формулой.

Выберем сечение g: H\G→G отображения факторизации G→H\G. Произвольный элемент модуля Ind_G,HM однозначно записывается в виде ∑_x∈H\G  m_x⋅g(x). Образом H-инвариантного элемента указанного вида при искомом отображении является элемент ∑_{y∈H\G: g(y)⁻¹=h⁻¹g(x)}  m_x^h группы M. Явным вычислением проверяется, что не только вся эта сумма, но даже отдельное слагаемое, связанное с элементом y∈H\G, не зависит от выбора сечения g. Поскольку отображение определено теперь инвариантным образом, оно коммутирует с действием H автоморфизмами ситуации, и следовательно принимает значения в H-инвариантах M.

Update: построенное отображение (Ind_G,HM)^H → M^H, вообще говоря, не согласовано с очевидным отображением (Ind_G,HM)_H → M_H: эта диаграмма коммутативна только когда G унимодулярна! Если порядок H обратим в M, то (G,H)-полуварианты M отождествляются с коинвариантами подкрученного на модулярный характер действия G на M.