MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 10
Окончание серии постингов http://posic.livejournal.com/1105166.html и т.д.

Остается обсудить вопрос об построении эквивалентности между обычными призводными категориями комодулей и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) (или, в коммутативном случае, D(C-comod) и D(C-contra)), поставленный в шестом постинге http://posic.livejournal.com/1101059.html

Естественной общностью здесь был бы, наверное, случай двух коколец C и D над одним и тем же кольцом A, но как должно выглядеть соответствующее определение антидуализирующего комплекса, я пока совсем плохо понимаю. Небезынтересен и случай пары полуалгебр S и T над коалгебрами C и D, но и он требует отдельных размышлений тоже. Видимо, лучше начать с простейшего случая двух коалгебр C и D над полем k.

Попробуем сформулировать подходящее определение антидуализирующего комплекса:

- B должен быть конечным комплексом C-D-бикомодулей над k
- имеющим конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D
- естественные отображения C* → End_D(comod-D)(B) и D* → End_D(C-comod)(B) являются изоморфизмами градуированных колец
- самое неочевидное: условие конечности (соответствующее требованию когерентности когомологий дуализирующего комплекса на схеме).

Касательно последнего: тут самое время вспомнить, что обычное определение дуализирующего комплекса над кольцом или парой колец требует нетеровости или, хотя бы, когерентности этих колец. Липман писал что-то про обобщения двойственности Гротендика на ненетеровы схемы; следовало бы заглянуть туда и посмотреть, насколько (не)разрешимой оказывается эта задача. Ориентируясь пока что на обобщение стандартной нетеровой теории, можно предложить такое определение конетеровой коалгебры.

(Продолжение следует.)