Последняя теорема Черна
Что на сферах, кроме S^2 и S^6, не
существует почти комплексной структуры - известный
топологический факт, доказанный Борелем и Серром

A. Borel and J.-P. Serre, Groupes de Lie et puissances
r\'eduites de Steenrod, Amer. J. Math. 75 (1953),
409--448. MR0058213

Почти комплексная структура на S^6 была построена
Калаби примерно тогда же. Существование комплексной
структуры периодически пытаются опровергнуть
(хотя Яу, например, предполагает, что она есть)

Было несколько публикаций, где доказывали, что
ее не бывает, либо строили. Вот первое, что попалось

Несуществование:

MR0866558
Hsiung, Chuan-Chih
Nonexistence of a complex structure on the six-sphere.
Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 14 (1986), no. 3,
231--247.

(и еще много статей, неправильных, и неправильная книга
такого же содержания)

Черн написал за несколько месяцев до смерти
(в возрасте 93 лет) написал препринт, где тоже
доказывал несуществование.

Chern, S.-S.: On the non-existence of a complex structure
on the six-sphere, Nankai Institute. of Mathematics
preprint (2004) (unpublished)

Существование:

http://arxiv.org/abs/math.DG/0505634
The six dimensional sphere is a complex manifold
Authors: Gabor Etesi, 30 May 2005

* * *

В России популярны лекции Кириллова,
которые он читал в конце 1980-х, а потом издал,
и там факт несуществования комплексных структур
на S^6 приводится со ссылкон на Сюня.
Поэтому население убеждено, что их нет.

Вот тут это заблуждение опровергает Брайант
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/complex.struct

Про гипотетическую комплексную структуру на 6-сфере
удалось найти 3 статьи и одну диссертацию

MR1456264
Gray, Alfred
A property of a hypothetical complex structure on the six sphere.
Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 11 (1997), no. 2, suppl., 251--255.

Доказывается, что H^{1,0}(M) от такого многообразия не ноль.


MR1772200
Ugarte, Luis(E-ZRGZS)
Hodge numbers of a hypothetical complex structure
on the six sphere. Geom. Dedicata 81 (2000), no. 1-3,
173--179.

Вычисляются h^{p,q} от такого многообразия,
и высшие дифференциалы в последовательности Дольбо.
Доказано, что либо h^{1,1} ненулевое, либо
h^{2,0} ненулевое, во втором случае на многообразии
есть точная, голоморфная (2,0)-форма.

MR1741779
Huckleberry, Alan T.; Kebekus, Stefan; Peternell, Thomas
Group actions on $S\sp 6$ and complex structures on $\bold P\sb 3$.
Duke Math. J. 102 (2000), no. 1, 101--124.

Получено немало алгебро-геометрических
следствий существования комплексной структуры на S^6.
Основное из них достаточно простое - раздутие
такого комплексного многообразия в точке
диффеоморфно CP^3, соответственноиз существования
комплексной структуры на S^6 вытекает наличие
экзотических комплексных структуры на CP^3.
Изучая эти структуры, Гекльберри-Кебекус-Петернелл
обнаруживают, что у голоморфных автоморфизмов
S^6 не может быть открытой орбиты.

Эта наука, возможно, имеет применения к физике;
об этом у Войта,
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=132
и в препринте

http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0501050
Yang-Mills, Complex Structures and Chern's Last Theorem
Authors: Andrei Marshakov, Antti J. Niemi

где из (неправильного) последнего препринта Черна получают
много полезных для струнной физики результатов.

Про 6-сферу есть диссертация,
"COMPLEX AND ALMOST-COMPLEX STRUCTURES ON SIX DIMENSIONAL MANIFOLDS"
http://edt.missouri.edu/Winter2006/Dissertation/BrownJ-042806-D4579/research.pdf

JAMES RYAN BROWN
Dr. Jan Segert, Dissertation Supervisor
MAY 2006, A Dissertation
presented tо the Faculty of the Graduate School
University of Missouri-Columbia

сейчас этот хост недоступен.

Привет

Update Еще одна статья

MR1622747
Campana, Frédéric; Demailly, Jean-Pierre; Peternell, Thomas
The algebraic dimension of compact complex
threefolds with vanishing second Betti number.
Compositio Math. 112 (1998), no. 1, 77--91.

"a compact complex threefold homeomorphic to the 6-sphere S$^6$
cannot admit a non-constant meromorphic function"