Ничего себе книжка.

Дмитрий, у меня к Вам опять дурацкий вопрос. Задался проблемой "мета-последовательности гексаграмм": это такая последовательность всех 64 гексаграмм, где отношения между двумя соседними (операция XOR) дают опять же набор неповторяющихся гексаграмм. То есть замкнули мы в кольцо эти 64 гексаграммы, и между каждыми соседними применяем XOR и получаем еще одно кольцо - и тоже гексаграммы идут без повторов. Я применил программистский подход и нарисовал процедурку поиска таких колец, но ищет она долго. Меня прежде всего интересует: как доказать, что такая последовательность возможна или невозможна? Может, у Вас есть какие-то идеи, с какой стороны к этой задаче подойти? Если это возможно, тогда еще интересно, сколько там колец может быть "вложено", то есть если применим XOR ко всем соседним парам во втором кольце, получим ли третье кольцо с такими же свойствами и будет ли оно действительно третьим, а не первым? Но я пока еще не разобрался с существованием первого кольца.

Все же у меня хватило ума поиграться пока не с 64 гексаграммами, а с 16 тетраграммами. На ночь запущу процедуру, пусть бегает, потом скажу, что получилось.

Что получилось с 16. Нужно выкинуть из множества фигуру, которая ничего не изменяет (0, то есть "0000" или "000000"). Тогда остальные 15 расставляются нормально. Даже можно найти много колец, которые дают сами себя при XOR, но с различным смещением. Любопытства ради хотел найти кольца, которые дают сами себя с половинным смещением - так, чтобы тетраграмма второго кольца оказывалась напротив самой себя первого кольца (то есть смещение 8), но ни одного не обнаружил. Значит, делаю отсюда вывод, что есть такие же вещи и с 63 гексаграммами.

Для любого n можно все 2^n-1 ненулевых векторов расставить в кольцо так, что все разности снова дадут то же самое кольцо со смещением.

Конструкция использует конечное поле размера 2^n. Его ненулевые элементы образуют группу по умножению, и эта группа - циклическая, т.е. для некоторого x эти элементы - 1, x, x^2,..., x^{2^n-2}. (Note that x^{2^n-1}=1}. Вот в таком порядке их и надо расставить.

М-м... Э-э... Спасибо. С такой математикой у меня плохо.

Это без нее плохо :) С ней многое становится легко.
Конечные поля вообще полезно знать программисту: в очень многих задачах они помогают.

Да, пожалуй, все же нужно изучить. Программистские мощности у меня уже исчерпаны. (Я в gg_yijing_ideas@lj выкладываю разные наблюдения за этими кольцами.) Не подскажете, какую литературу нужно поднять? И что нужно знать, прежде чем браться за конечные поля?

В продолжение вопроса про конечные поля: скачал "Конечные поля" Лидла и Нидеррайтера, вроде что-то понятно. Только вот стимул плохо ищется - одно дело изучать теорию в институте, а другое - самому и отрывочно.

Да, у меня вопросик маленький: вот эта моя задачка - она для какого курса математического отделения? 2-3-го?

Да, примерно второй-третий курс. Конечные поля рассказывают не везде. Но суть там простая: остатки по простому модулю уже образуют конечное поле (порядка p). А чтобы сделать из него поле порядка p^n, надо добавить новый элемент x, причем все степени x до (n-1)ой должны быть независимы (то есть, ни одну из них нельзя выразить через остальные). А n-я степень уже через них выражается: x^n=\sum a_ix^i - это и есть многочлен, задающий x, и главное, чтобы он не разлагался на множители. Тогда поле получается автоматически: легко проверить, что все операции определены.

А что группа по умножению - циклическая, следует из теоремы Безу. У любого многочлена не может быть корней больше, чем его степень. Значит, корней у x^m=1 не больше, чем m. Это означает, что в группе по умножению элементов каждого порядка m не больше, чем m, и тогда она обязана быть циклической.

Да, спасибо. Мало что понял, правда. Совсем идиотский вопрос - а вот "x" здесь что обозначает? Как это - чтобы "ни одну из них нельзя выразить через остальные"? Можно пример? Как, скажем, x³ должна выглядеть, чтобы не зависеть от x² и x? И откуда мы берем множители a_i?

Мне в этой задаче интересны новые подходы (так-то колечки гексаграмм я уже получил) к решению ее на большом числе элементов. А еще - количество вариантов, или смещений. Уж больно "круглые" числа получаются с этими количествами. Эти количества как-то вычисляются?

Недавно начал наконец читать Лидла и Нидеррайтера - накопал в электронном виде их "Конечные поля". Другое дело, что и на новой работе еще учиться приходится, мозг протестует, предел обучаемости уже дает себя знать. Вопрос простой: Вы никогда не рассматривали "Книгу Перемен" как конечное поле применительно к чему-либо? Я подумал, что Вам-то должны быть видны какие-то нетривиальные вещи, связанные с конечными полями и, возможно, полезные при гадании или же философствовании. В принципе да, любая замкнутая система - и Таро, и руны - уже является конечным полем, но у китайцев это почему-то получилось прозрачнее всего.

> любая замкнутая система - и Таро, и руны - уже является конечным полем
А сколько карт в Таро? А рун? Если число - не степень простого (как, например, 22 в каббале), то никакого конечного поля там нет. Да и если степень - тоже, скорее всего, нет.
64 гексаграммы тоже, скорее всего, структуры поля не несут. Достаточно того, что это 6-мерное векторное пространство - и иногда это и впрямь полезно; например, чтобы запомнить, как они разбиваются на дома.

А набор остатков от деления - разве не поле? Или там должен быть простой делитель? Да, я еще не дочитал до этого момента.

Но и 63 - тоже не простое число, а поле из 63 гексаграмм вроде бы получается.

Решил я все-таки эту задачу и получил довольно любопытные результаты, если хотите - взгляните: http://gg-yijing-ideas.livejournal.com/14301.html .

Пардон, про степень простого числа раньше не дочитал.

Нарисовал два графика по результатам расчетов (20 точек), смешно получилось: http://gg-yijing-ideas.livejournal.com/14482.html . В том смысле, что было бы интересно обнаружить некую зависимость.